2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量第四章平面向量.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量第四章平面向量 [考情展望] 1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關概念.3.借助共線向量定理探求點線關系或求參數(shù)的值． 一、向量的有關概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． 2．零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． 3．單位向量：長度等于1個單位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． 5．相等向量：長度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：長度相等且方向相反的向量． 二、向量的線性運算 向量 運算 定義 法則 (或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 b＋a法則 (1)交換律：a＋b＝a＋(b＋c)． (2)結合律： (a＋b)＋c＝平行四邊形 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0. λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量加減法運算的兩個關鍵點： 加法的三角形法則關鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關鍵是“起點重合，指向被減向量”． 三、平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 巧用系數(shù)判共線 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1；反之，也成立． 1．化簡－＋＋的結果為( ) A. B. C. D. 【答案】 D 2．下列給出的命題正確的是( ) A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內的單位向量有且僅有一個 C．a與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．相等的向量必是共線向量 【答案】 D 3．設a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關系式中正確的是( ) A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 【答案】 B 4．(xx福建高考)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則＋＋＋等于( ) A. B．2 C．3 D．4 【答案】 D 5．設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件是( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【答案】 C 6．(xx四川高考)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝ . 【答案】 2 考向一 [071] 平面向量的有關概念 給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 D 規(guī)律方法1 1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關概念題進行判定的行之有效的方法． 2．準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關鍵：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性；(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關． 3．“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度． 對點訓練 給出下列四個命題： ①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③若a∥b，b∥c，則a∥c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命題的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 考向二 [072] 平面向量的線性運算 (1)在△ABC中，若D是AB邊上一點，且＝2，＝＋λ，則λ＝( ) A. B. C．－ D．－ (2)若O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊中點，且2＋＋＝0，那么( ) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 【答案】 (1)A (2)A 規(guī)律方法2 1.解答本例(1)的關鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來．解答本例(2)的關鍵是＋＝2. 2．進行向量的線性運算時，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解． 對點訓練 (1)(xx課標全國卷Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝( ) A. B. C. D. (2)(xx南京質檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足＋＋＝0，＝λ，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 (1)C (2)－2 考向三 [073] 共線向量定理的應用 設兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線． (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A、C、F三點共線，求k的值． 【嘗試解答】 (1)＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2， 又＝－8e1－2e2， 所以＝－2，∴與共線， 又∵與有公共點C， ∴A、C、D三點共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A、C、F三點共線， ∴∥，從而存在實數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2. 所以實數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法3 1.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用． 2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． 對點訓練 (1)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 (2)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 (1)D (2)A 易錯易誤之八 忽視零向量的特殊性致誤 —————————— [1個示范例] —————— 下列命題正確的是( ) A．向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使b＝λa B．在△ABC中，＋＋＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個等號不可能同時成立 D．向量a、b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線 【解析】 A不正確，當a＝b＝0時，有無數(shù)個實數(shù)λ滿足b＝λa. 此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤． B不正確，在△ABC中，＋＋＝0. 此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向． C不正確，當b＝0時，不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立． 此處在求解時，常受代數(shù)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導致錯誤． D正確．∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量． 若a＋b與a－b平行，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b， ∴λ無解，故假設不成立， 即a＋b與a－b不平行，故選D. 【防范措施】 (1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在． (2)向量的加減及數(shù)乘運算的結果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)． (3)應熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件． ———————— [1個防錯練] ——————— 下列說法不正確的有 ． ①若a∥b，則a與b的方向相同或相反； ②若λa＝0，則λ＝0； ③相反向量必不相等； ④若a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，則a∥b 的充要條件是e2＝0. 【解析】?、俨徽_，如a＝0. ②不正確，λa＝0，則λ＝0或a＝0. ③不正確，0＝－0. ④不正確，當e1∥e2時該命題也成立． 【答案】?、佗冖邰? 課時限時檢測(二十五) 平面向量的基本概念及線性運算 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 A 2．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是( ) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 【答案】 B 3．如圖4－1－1，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝( ) 圖4－1－1 A．0 B. C. D. 【答案】 D 4．設a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使＋＝0成立的是 ( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a⊥b 【答案】 A 5．設a，b是兩個非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 【答案】 C 6．已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．如圖4－1－2所示，向量a－b＝ (用e1，e2表示)． 圖4－1－2 【答案】 e1－3e2 8．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是 ． 【答案】 [3,13] 9．已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是 (將正確的序號填在橫線上)． ①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e； ②存在相異實數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0； ③xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)． 【答案】 ①② 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設a，b是不共線的兩個非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A、B、C三點共線． (2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值． (3)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A、C、D三點共線，求k的值． 【解】 (1)證明?。剑絘＋2b， ＝－＝－a－2b. 所以＝－，又因為A為公共點， 所以A、B、C三點共線． (2)設8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 則?或 所以實數(shù)k的值為4. (3)＝＋＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因為A、C、D三點共線，所以與共線． 從而存在實數(shù)λ使＝λ，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 得解得λ＝，k＝， 所以k＝. 11．(12分)如圖4－1－3所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，求實數(shù)m的值． 圖4－1－3 【解】 如題圖所示，＝＋， ∵P為BN上一點，則＝k， ∴＝＋k＝＋k(－) 又＝，即＝， 因此＝(1－k)＋， 所以1－k＝m，且＝， 解得k＝，則m＝1－k＝. 12．(13分)設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點： ①△ABC的外心；②△ABC的內心；③△ABC的重心； ④△ABC的垂心． 【解】 如圖，記＝，＝，則，都是單位向量， ∴||＝||，＝＋，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵＝＋，由條件知＝＋λ， ∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴點P的軌跡是射線AQ，且AQ通過△ABC的內心． 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 [考情展望] 1.考查用平面向量的坐標運算進行向量的線性運算.2.考查應用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標運算及共線向量定理為載體，考查學生分析問題和解決問題的能力． 一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示 1．平面向量的坐標運算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則ab＝(x1x2，y1y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 共線向量的坐標表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內所有向量基底的是( ) A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標是( ) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【答案】 D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于( ) A．5 B．10 C. D．15 【答案】 B 4．(xx福建高考)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 【答案】 B 5．(xx廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 6．(xx北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝ . 圖4－2－1 【答案】 4 考向一 [074] 平面向量基本定理及其應用 (1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝ . 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設＝a，＝b，若＝2，則＝ (用向量a和b表示)． 【答案】 (1) (2)a＋b 規(guī)律方法1 1.解答本例(1)的關鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題． (2)利用已知向量表示未知向量，實質就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用． 對點訓練 (xx江蘇高考)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為 ． 【答案】 考向二 [075] 平面向量的坐標運算 已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標及向量的坐標． 【嘗試解答】 a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴ 解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2 1.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標，注意方程思想的應用． 2．平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來． 對點訓練 (1)(xx廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) (2)(xx北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝( ) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 【答案】 (1)B (2)A 考向三 [076] 平面向量共線的坐標表示 (1)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為 ． (2)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos 2α＝( ) A．－ B. C．－ D. 【答案】 (1)(－4，－2) (2)D 規(guī)律方法3 1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解． 對點訓練 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝( ) A. B. C．1 D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是 ． 【答案】 (1)B (2)m≠ 思想方法之十二 待定系數(shù)法在向量運算中的應用 根據(jù)向量之間的關系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關系，從而使問題得到解決． —————————— [1個示范例] —————— 如圖4－2－3所示，在△OAB中，＝， 圖4－2－3 ＝，AD與BC交于點M，設＝a，＝b，利用a和b表示向量. 【解】 設＝ma＋nb， 則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝b－a.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a，因為C、M、B三點共線， 所以存在實數(shù)t，使＝t，即a＋nb＝t. 所以消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b., ———————— [1個對點練] ——————— 如圖4－2－4所示，M是△ABC內一點，且滿足條件＋2＋3＝0，延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 圖4－2－4 【解】 因為＝＋，＝＋， 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線， 由平面向量基本定理，設＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a. 課時限時檢測(二十六) 平面向量基本定理及坐標表示 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝( ) A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 【答案】 A 2．(xx陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于( ) A．－ B. C．－或 D．0 【答案】 C 3．已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D是BC邊的中點，則||等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 A 4．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍( ) A．(0,1) B. C．(－1,0) D. 【答案】 C 5．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c為( ) A．(1，－1) B．(－1,1) C．(－4,6) D．(4，－6) 【答案】 D 6．△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，設向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為( ) A. B. C. D. 【答案】 B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為 ． 【答案】 8．在△ABC中，若點D是邊AB上靠近點B的三等分點，若＝a，＝b，則等于 ． 【答案】 a＋b 9．已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 1 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)設坐標平面上有三點A，B，C，i，j分別是坐標平面上x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實數(shù)m，使A，B，C三點共線． 【解】 法一 假設滿足條件的m存在，由A，B，C三點共線，得∥， ∴存在實數(shù)λ，使＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)， ∴∴m＝－2. ∴當m＝－2時，A，B，C三點共線． 法二 假設滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)． ∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A，B，C三點共線，得∥， 故1m－1(－2)＝0， 解得m＝－2. ∴當m＝－2時，A，B，C三點共線． 11．(12分)已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，問： (1)t為何值時，點P在x軸上？點P在二、四象限角平分線上？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由． 【解】 (1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， ∴＝(1,2)，＝(3,3)， ＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若P在x軸上， 只需2＋3t＝0，t＝－； 若P在第二、四象限角平分線上，則 1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－. (2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)， 若OABP是平行四邊形， 則＝， 即此方程組無解． 所以四邊形OABP不可能為平行四邊形． 12．(13分)如圖4－2－5，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線． 圖4－2－5 (1)設＝λ，將用λ，，表示； (2)設＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 【解】 (1)＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)證明 一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝(＋)＝＋.② 而，不共線， ∴由①②，得 解得 ∴＋＝3(定值)． 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 [考情展望] 1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質.2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結合思想． 一、平面向量的數(shù)量積 1．數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cos θ，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2．向量的投影：設θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 二、平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：ab＝ba； 2．數(shù)乘結合律：(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； 3．分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 三、平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 ab＝|a||b|cos θ ab＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的 關系 |ab|≤|a||b|(當且僅 當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ 1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(bc)a等于 ( ) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【答案】 A 2．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 C 3．已知向量a，b和實數(shù)λ，下列選項中錯誤的是( ) A．|a|＝ B．|ab|＝|a||b| C．λ(ab)＝λab D．|ab|≤|a||b| 【答案】 B 4．已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝( ) A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】 B 5．(xx湖北高考)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為( ) A. B. C．－ D．－ 【答案】 A 6．(xx課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝ . 【答案】 2 考向一 [077] 平面向量數(shù)量積的運算 (1)(xx浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則＝ . (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為 ；的最大值為 ． 【答案】 (1)－16 (2)1 1 規(guī)律方法1 1.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計算． 2．要有“基底”意識，關鍵用基向量表示題目中所求相關向量，如本例(1)中用、表示、等．注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0，90，180三種特殊情形． 對點訓練 (1)(xx江西高考)設e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為 ． (2)在邊長為1的正三角形ABC中，設＝2，＝3，則＝ . 【答案】 (1) (2)－ 考向二 [078] 平面向量的夾角與垂直 (1)(xx安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為 ． (2)(xx山東高考)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為 ． 【答案】 (1)－ (2) 規(guī)律方法2 1.當a，b以非坐標形式給出時，求〈a，b〉的關鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與ab的關系． 2．(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?ab＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見的錯誤是不會借助向量減法法則把表示成－，導致求解受阻． 對點訓練 (1)(xx重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝( ) A．－ B．0 C．3 D. (2)(xx青島質檢)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值是 ． 【答案】 (1)C (2) 考向三 [079] 平面向量的模及其應用 (1)設x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝( ) A. B. C．2 D．10 【答案】 B (2)已知＝(cos θ，sin θ)，＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍及||取得最大值時θ的值． 【嘗試解答】 ∵＝－＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)， ∴|P|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2 ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴||2∈[2,6]，∴||∈[，]． 當sin 2θ＝－1，即θ＝時，||取得最大值． 規(guī)律方法3 1.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件． 2．求解向量的長度問題一般可以從兩個方面考慮： (1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； (2)利用公式|a|＝及(ab)2＝|a|22ab＋|b|2把長度問題轉化為數(shù)量積的運算問題解決． 對點訓練 (1)(xx江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝ . (2)(xx四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】 (1)3 (2)D 易錯易誤之九 忽略向量共線條件致誤 —————————— [1個示范例] —————— (xx廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍為 ． 【解析】 ∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角， ∴a(a＋λb)＞0，即(1,2)(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－， 當a與 a＋λb共線時，存在實數(shù)m，使a＋λb＝ma， 此處在求解時，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯誤的原因是誤認為ab＞0與〈a，b〉為銳角等價． 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴，∴λ＝0，即當λ＝0時，a與a＋λb共線． 綜上可知，λ的取值范圍為 【防范措施】 1.a，b的夾角為銳角并不等價于ab＞0，ab＞0等價于a與b夾角為銳角或0. 2．依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標中的參數(shù)時，要注意θ＝0或180的情形．其中cos 0＝1＞0，cos 180＝－1＜0. ———————— [1個防錯練] ——————— 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是 ． 【解析】 由ab＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜. 又當a∥b時，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜且λ≠－6. 【答案】 課時限時檢測(二十七) 平面向量的數(shù)量積 (時間：60分鐘 滿分：80分) 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．(xx遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 2．(xx大綱全國卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】 B 3．若向量a, b，c滿足a∥b且a⊥c，則c(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】 D 4．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60，則|2a－b|＝( ) A．2 B．4 C．2 D．8 【答案】 A 5．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，則λ＝( ) A. B. C. D. 【答案】 A 6．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則向量b－3a與向量a夾角的余弦值為 ． 【答案】?。? 8．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60，則a＋b在a方向上的投影為 ． 【答案】 2 9．設i、j是平面直角坐標系(坐標原點為O)內分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，則△OAB的面積等于 ． 【答案】 5 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)， (1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值； (2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x的取值范圍． 【解】 (1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)， ∴2a＋b＝(2＋x,5)， a－b＝(1－x,1)． 由(2a＋b)∥(a－b)可知 2＋x＝5－5x. 解得x＝. (2)由題意可知 (2a＋b)(a－b)＞0且2a＋b與a－b不共線， ∴ ∴＜x＜且x≠. 即所求x的取值范圍是 ∪. 11．(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點M滿足＝，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖． 圖4－3－1 (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在實數(shù)λ，使(－λ)⊥，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由． 【解】 (1)由題意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)． ∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝. (2)設P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)， －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)， 若(－λ)⊥，則(－λ)＝0， 即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，則λ不存在， 若t≠，則λ＝， ∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪. 12．(13分)已知點A(1,0)，B(0,1)， C(2sin θ，cos θ)． (1)若||＝||，求的值； (2)若(＋2)＝1，其中O為坐標原點，求sin θcos θ的值． 【解】 ∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)， ∴＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)||＝||， ∴＝， 化簡得2sin θ＝cos θ， 所以tan θ＝，∴＝＝＝－5. (2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sin θ，cos θ)， ∴＋2＝(1,2)， ∵(＋2)＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－. 第四節(jié) 平面向量應用舉例 [考情展望] 1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性． 一、向量在平面幾何中的應用 1．平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． 2．用向量解決常見平面幾何問題的技巧 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線、相似等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直問題 數(shù)量積的運算性質 a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角) 二、向量在物理中的應用 1．向量的加法、減法在力的分解與合成中的應用． 2．向量在速度的分解與合成中的應用． 3．向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應用：W＝fs. 1．已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，則|f3|為( ) A．2.5 B．4 C．2 D．5 【答案】 D 2．已知O是△ABC所在平面上一點，若＝＝，則O是△ABC的( ) A．內心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】 D 3．若＋2＝0，則△ABC為( ) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】 D 4．已知兩個力F1、F2的夾角為90，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60，那么F1的大小為 ． 【答案】 5 N 5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，＝1，則BC＝( ) A. B. C．2 D. 【答案】 A 6．(xx山東高考)在△ABC中，已知＝tan A，當A＝時，△ABC的面積為 ． 【答案】 考向一 [080] 向量在平面幾何中的應用 (1)在△ABC中，已知向量與滿足＝0，且＝，則△ABC為( ) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 (2)設a，b，c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于( ) A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形面積 C．以a，b為兩邊的三角形面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點，則(－)的最大值為 ． 【答案】 (1)A (2)D (3)9 規(guī)律方法1 1.向量在平面幾何中的三大應用：一是借助運算判斷圖形的形狀；二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達式，進而求最值． 2．平面幾何問題的向量解法 (1)坐標法 把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決． (2)基向量法 適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解． 對點訓練 (1)已知點O，N，P在△ABC所在平面內，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝＝，則點O，N，P依次是△ABC的( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內心 (注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心) (2)(xx課標全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則＝ . 【答案】 (1)C (2)2 考向二 [081] 平面向量在解析幾何中的應用 (xx蘇州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最大值． 【嘗試解答】 (1)設P(x，y)，則Q(8，y)． 由＝0， 得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡得＋＝1. 所以點P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因＝(－)(－) ＝(－－)(－) ＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點，設P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20. 因為y0∈[－2，2]， 所以當y0＝－3時，2取得最大值20，故的最大值為19. 規(guī)律方法2 1.平面向量與解析幾何交匯的題目，向量多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題． 2．向量工具作用：利用a⊥b?ab＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法． 對點訓練 (xx安徽高考)在平面直角坐標系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，ab＝0，點Q滿足＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0
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