2019-2020年高三上學期期末考試 數(shù)學文科試題.doc

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2019-2020年高三上學期期末考試 數(shù)學文科試題 高三數(shù)學（文科） xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，所以，即，選B. 2．復數(shù)（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【解析】,選A. 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】第一次循環(huán)，滿足條件，;第二次循環(huán)，滿足條件，;第三次循環(huán)，滿足條件，;第四次循環(huán)，不滿足條件，輸出，選C. 4．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由，得，令，在坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象可知交點為一個，即函數(shù)的零點個數(shù)為1個，選B. 5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由三視圖可知，四棱錐的高為2，底面為直角梯形ABCD.其中,所以四棱錐的體積為，選C. 6．過點作圓的兩條切線，，為切點，則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】設切線斜率為，則切線方程為，即，圓心到直線的距離，即，所以，，,所以，選D 7．設等比數(shù)列的公比為，前項和為．則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，顯然不成立。由得，即，所以。若，則，滿足。當時，滿足，但，所以“”是“”的充分而不必要條件，選A. 8．已知函數(shù)的定義域為．若常數(shù)，對，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給定下列三個函數(shù)： ①； ②； ③． 其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是（ ） （A）① （B）③ （C）①② （D）②③ 【答案】B 【解析】由題意可知當時，恒成立，若對，有。①若，則由得，平方得，所以不存在常數(shù)，使橫成立。所以①不具有性質(zhì)P. ②若，由得，整理，所以不存在常數(shù)，對，有成立，所以②不具有性質(zhì)P。③若，則由得由，整理得，所以當只要，則成立，所以③具有性質(zhì)P，所以具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是③。選B 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知向量，．若向量與共線，則實數(shù)______． 【答案】 【解析】因為向量與共線，所以，解得。 10．平行四邊形中，為的中點．若在平行四邊形內(nèi)部隨機取一點， 則點取自△內(nèi)部的概率為______． 【答案】 【解析】,根據(jù)幾何概型可知點取自△內(nèi)部的概率為，其中為平行四邊形底面的高。 11．雙曲線的漸近線方程為______；離心率為______． 【答案】，； 【解析】由雙曲線的標準方程可知，，所以，。所以雙曲線的漸近線方程為，離心率。 12．若函數(shù)是奇函數(shù)，則______． 【答案】 【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即。 13．已知函數(shù)，其中．當時，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______． 【答案】， 【解析】若，則，此時，即的值域是。 若，則，因為當或時，，所以要使的值域是，則有，，即的取值范圍是。 14．設函數(shù)，集合，且．在直角坐標系中，集合所表示的區(qū)域的面積為______． 【答案】 【解析】因為，所以由得，即，它表示以為圓心，半徑為的圓面。由得，即，整理得，即或，顯然的交點為，且兩直線垂直，所以對應平面區(qū)域為二分之一個圓周的面積，所以集合所表示的區(qū)域的面積為，如圖： 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 在△中，內(nèi)角的對邊分別為，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面積． 16．（本小題滿分13分） 為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重．經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于至之間．將數(shù)據(jù)分成以下組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第3，4，5組中隨機抽取6名學生做初檢． （Ⅰ）求每組抽取的學生人數(shù)； （Ⅱ）若從6名學生中再次隨機抽取2名學生進行復檢，求這2名學生不在同一組的概率． 17．（本小題滿分14分） 如圖，直三棱柱中，，，，分別 為，的中點． （Ⅰ）求線段的長； （Ⅱ）求證：// 平面； （Ⅲ）線段上是否存在點，使平面？說明理由． 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若是的一個極值點，求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間． 19．（本小題滿分14分） 如圖，，是橢圓的兩個頂點．，直線的斜率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線平行于，與軸分別交于點，與橢圓相交于．證明：△的面積等于△的面積． 20．（本小題滿分13分） 如圖，設是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實數(shù)，且．記為所有這樣的數(shù)表構成的集合． 對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令． （Ⅰ）對如下數(shù)表，求的值； （Ⅱ）證明：存在，使得，其中； （Ⅲ）給定為奇數(shù)，對于所有的，證明：． 北京市西城區(qū)xx — xx第一學期期末 高三數(shù)學（文科）參考答案及評分標準 xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11．，； 12．； 13．，； 14．． 注：11、13題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：由已知得 ， ………………2分 即 ． 解得 ，或． ………………4分 因為 ，故舍去． ………………5分 所以 ． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理得 ． ………………8分 將，代入上式，整理得． 因為 ， 所以 ． ………………11分 所以 △的面積． ………………13分 16．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：由頻率分布直方圖知，第，，組的學生人數(shù)之比為． …………2分 所以，每組抽取的人數(shù)分別為： 第組：；第組：；第組：． 所以從，，組應依次抽取名學生，名學生，名學生． ………………5分 （Ⅱ）解：記第組的位同學為，，；第組的位同學為，；第組的位同學為． ………………6分 則從位同學中隨機抽取2位同學所有可能的情形為： ，共種可能． ………………10分 其中， 這11種情形符合2名學生不在同一組的要求． ………………12分 故所求概率為． ………………13分 17．（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：連接． 因為 是直三棱柱， 所以 平面， ………………1分 所以 ． ………………2分 因為 ， 所以 平面． ………………3分 因為 ，， 所以 ． ………………4分 （Ⅱ）證明：取中點，連接，． ………………5分 在△中，因為 為中點，所以，． 在矩形中，因為 為中點，所以，． 所以 ，． 所以 四邊形為平行四邊形，所以 ． ………………7分 因為 平面，平面， ………………8分 所以 // 平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上存在點，且為中點時，有平面． ………11分 證明如下：連接． 在正方形中易證 ． 又平面，所以 ，從而平面．…………12分 所以 ． ………………13分 同理可得 ，所以平面． 故線段上存在點，使得平面． ………………14分 18．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：． ………………2分 依題意，令，得 ． ………………4分 經(jīng)檢驗，時符合題意． ………………5分（Ⅱ）解：① 當時，． 故的單調(diào)減區(qū)間為，；無單調(diào)增區(qū)間． ………………6分 ② 當時，． 令，得，． ………………8分 和的情況如下： ↘ ↗ ↘ 故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為． ………………11分 ③ 當時，的定義域為． 因為在上恒成立， 故的單調(diào)減區(qū)間為，，；無單調(diào)增區(qū)間． ………………13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：依題意，得 ………………2分 解得 ，． ………………3分 所以 橢圓的方程為． ………………4分 （Ⅱ）證明：由于//，設直線的方程為，將其代入，消去， 整理得 ． ………………6分 設，． 所以 ………………8分 證法一：記△的面積是，△的面積是． 由，， 則． ………………10分 因為 ， 所以 ， ………………13分 從而． ………………14分 證法二：記△的面積是，△的面積是． 則線段的中點重合． ………………10分 因為 ， 所以 ，． 故線段的中點為． 因為 ，， 所以 線段的中點坐標亦為． ………………13分 從而． ………………14分 20．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：，；，， 所以． ………………3分 （Ⅱ）證明：（?。?shù)表：，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)椋玫綌?shù)表，顯然． 依此類推，將數(shù)表中的由變?yōu)椋玫綌?shù)表． 即數(shù)表滿足：，其余． 所以 ，． 所以 ，其中．……………7分 【注：數(shù)表不唯一】 （Ⅲ）證明：用反證法． 假設存在，其中為奇數(shù)，使得． 因為， ， 所以，，，，，，，這個數(shù)中有個，個． 令． 一方面，由于這個數(shù)中有個，個，從而． ① 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個實數(shù)之積為）；也表示， 從而． ② ①、②相互矛盾，從而不存在，使得． 即為奇數(shù)時，必有． ………………13分