2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)文科試題.doc

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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)文科試題 高三數(shù)學(xué)（文科） xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知集合，，則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，所以，即，選B. 2．復(fù)數(shù)（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【解析】,選A. 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】第一次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，;第二次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，;第三次循環(huán)，滿(mǎn)足條件，;第四次循環(huán)，不滿(mǎn)足條件，輸出，選C. 4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由，得，令，在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可知交點(diǎn)為一個(gè)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B. 5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由三視圖可知，四棱錐的高為2，底面為直角梯形ABCD.其中,所以四棱錐的體積為，選C. 6．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，，為切點(diǎn)，則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】設(shè)切線(xiàn)斜率為，則切線(xiàn)方程為，即，圓心到直線(xiàn)的距離，即，所以，，,所以，選D 7．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，顯然不成立。由得，即，所以。若，則，滿(mǎn)足。當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但，所以“”是“”的充分而不必要條件，選A. 8．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舫?shù)，對(duì)，有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．給定下列三個(gè)函數(shù)： ①； ②； ③． 其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是（ ） （A）① （B）③ （C）①② （D）②③ 【答案】B 【解析】由題意可知當(dāng)時(shí)，恒成立，若對(duì)，有。①若，則由得，平方得，所以不存在常數(shù)，使橫成立。所以①不具有性質(zhì)P. ②若，由得，整理，所以不存在常數(shù)，對(duì)，有成立，所以②不具有性質(zhì)P。③若，則由得由，整理得，所以當(dāng)只要，則成立，所以③具有性質(zhì)P，所以具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是③。選B 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知向量，．若向量與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)______． 【答案】 【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線(xiàn)，所以，解得。 10．平行四邊形中，為的中點(diǎn)．若在平行四邊形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)， 則點(diǎn)取自△內(nèi)部的概率為_(kāi)_____． 【答案】 【解析】,根據(jù)幾何概型可知點(diǎn)取自△內(nèi)部的概率為，其中為平行四邊形底面的高。 11．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____；離心率為_(kāi)_____． 【答案】，； 【解析】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以，。所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，離心率。 12．若函數(shù)是奇函數(shù)，則______． 【答案】 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即。 13．已知函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______． 【答案】， 【解析】若，則，此時(shí)，即的值域是。 若，則，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，所以要使的值域是，則有，，即的取值范圍是。 14．設(shè)函數(shù)，集合，且．在直角坐標(biāo)系中，集合所表示的區(qū)域的面積為_(kāi)_____． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以由得，即，它表示以為圓心，半徑為的圓面。由得，即，整理得，即或，顯然的交點(diǎn)為，且兩直線(xiàn)垂直，所以對(duì)應(yīng)平面區(qū)域?yàn)槎种粋€(gè)圓周的面積，所以集合所表示的區(qū)域的面積為，如圖： 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿(mǎn)分13分） 在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面積． 16．（本小題滿(mǎn)分13分） 為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了一批學(xué)生測(cè)量體重．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：千克）全部介于至之間．將數(shù)據(jù)分成以下組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第3，4，5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生做初檢． （Ⅰ）求每組抽取的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）若從6名學(xué)生中再次隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行復(fù)檢，求這2名學(xué)生不在同一組的概率． 17．（本小題滿(mǎn)分14分） 如圖，直三棱柱中，，，，分別 為，的中點(diǎn)． （Ⅰ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)； （Ⅱ）求證：// 平面； （Ⅲ）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由． 18．（本小題滿(mǎn)分13分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間． 19．（本小題滿(mǎn)分14分） 如圖，，是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)．，直線(xiàn)的斜率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)平行于，與軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于．證明：△的面積等于△的面積． 20．（本小題滿(mǎn)分13分） 如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且．記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合． 對(duì)于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令． （Ⅰ）對(duì)如下數(shù)表，求的值； （Ⅱ）證明：存在，使得，其中； （Ⅲ）給定為奇數(shù)，對(duì)于所有的，證明：． 北京市西城區(qū)xx — xx第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11．，； 12．； 13．，； 14．． 注：11、13題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．（本小題滿(mǎn)分13分） （Ⅰ）解：由已知得 ， ………………2分 即 ． 解得 ，或． ………………4分 因?yàn)?，故舍去． ………………5分 所以 ． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理得 ． ………………8分 將，代入上式，整理得． 因?yàn)?， 所以 ． ………………11分 所以 △的面積． ………………13分 16．（本小題滿(mǎn)分13分） （Ⅰ）解：由頻率分布直方圖知，第，，組的學(xué)生人數(shù)之比為． …………2分 所以，每組抽取的人數(shù)分別為： 第組：；第組：；第組：． 所以從，，組應(yīng)依次抽取名學(xué)生，名學(xué)生，名學(xué)生． ………………5分 （Ⅱ）解：記第組的位同學(xué)為，，；第組的位同學(xué)為，；第組的位同學(xué)為． ………………6分 則從位同學(xué)中隨機(jī)抽取2位同學(xué)所有可能的情形為： ，共種可能． ………………10分 其中， 這11種情形符合2名學(xué)生不在同一組的要求． ………………12分 故所求概率為． ………………13分 17．（本小題滿(mǎn)分14分） （Ⅰ）證明：連接． 因?yàn)?是直三棱柱， 所以 平面， ………………1分 所以 ． ………………2分 因?yàn)?， 所以 平面． ………………3分 因?yàn)?，， 所以 ． ………………4分 （Ⅱ）證明：取中點(diǎn)，連接，． ………………5分 在△中，因?yàn)?為中點(diǎn)，所以，． 在矩形中，因?yàn)?為中點(diǎn)，所以，． 所以 ，． 所以 四邊形為平行四邊形，所以 ． ………………7分 因?yàn)?平面，平面， ………………8分 所以 // 平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線(xiàn)段上存在點(diǎn)，且為中點(diǎn)時(shí)，有平面． ………11分 證明如下：連接． 在正方形中易證 ． 又平面，所以 ，從而平面．…………12分 所以 ． ………………13分 同理可得 ，所以平面． 故線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面． ………………14分 18．（本小題滿(mǎn)分13分） （Ⅰ）解：． ………………2分 依題意，令，得 ． ………………4分 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)符合題意． ………………5分（Ⅱ）解：① 當(dāng)時(shí)，． 故的單調(diào)減區(qū)間為，；無(wú)單調(diào)增區(qū)間． ………………6分 ② 當(dāng)時(shí)，． 令，得，． ………………8分 和的情況如下： ↘ ↗ ↘ 故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為． ………………11分 ③ 當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋? 因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ? 故的單調(diào)減區(qū)間為，，；無(wú)單調(diào)增區(qū)間． ………………13分 19．（本小題滿(mǎn)分14分） （Ⅰ）解：依題意，得 ………………2分 解得 ，． ………………3分 所以 橢圓的方程為． ………………4分 （Ⅱ）證明：由于//，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將其代入，消去， 整理得 ． ………………6分 設(shè)，． 所以 ………………8分 證法一：記△的面積是，△的面積是． 由，， 則． ………………10分 因?yàn)?， 所以 ， ………………13分 從而． ………………14分 證法二：記△的面積是，△的面積是． 則線(xiàn)段的中點(diǎn)重合． ………………10分 因?yàn)?， 所以 ，． 故線(xiàn)段的中點(diǎn)為． 因?yàn)?，， 所以 線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)亦為． ………………13分 從而． ………………14分 20．（本小題滿(mǎn)分13分） （Ⅰ）解：，；，， 所以． ………………3分 （Ⅱ）證明：（?。?duì)數(shù)表：，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然． 依此類(lèi)推，將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表． 即數(shù)表滿(mǎn)足：，其余． 所以 ，． 所以 ，其中．……………7分 【注：數(shù)表不唯一】 （Ⅲ）證明：用反證法． 假設(shè)存在，其中為奇數(shù)，使得． 因?yàn)椋?， 所以，，，，，，，這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)． 令． 一方面，由于這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)，從而． ① 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為）；也表示， 從而． ② ①、②相互矛盾，從而不存在，使得． 即為奇數(shù)時(shí)，必有． ………………13分