2019-2020年高考數學總復習 第二章 函數概念與基本初等函數 第7講 函數的圖象.doc

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2019-2020年高考數學總復習 第二章 函數概念與基本初等函數 第7講 函數的圖象 最新考綱　1.理解點的坐標與函數圖象的關系；2.會利用平移、對稱、伸縮變換，由一個函數圖象得到另一個函數的圖象；3.會運用函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式的解的問題． 知 識 梳 理 1．函數圖象的作法 (1)描點法作圖：通過列表、描點、連線三個步驟，畫出函數圖象．用描點法在選點時往往選取特殊點，有時也可利用函數的性質(如單調性、奇偶性、周期性)畫出圖象． (2)圖象變換法作圖：一個函數的圖象經過適當的變換，得到另一個與之有關的函數圖象，在高考中要求學生掌握三種變換(平移變換、伸縮變換、對稱變換)． 2．函數圖象間的變換 (1)平移變換 對于平移，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減． (2)對稱變換 (3)伸縮變換 y＝f(x)y＝f(ax)． y＝f(x)y＝Af(x)． 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內打“√”或“”)　精彩PPT展示 (1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的 圖象相同．() (2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱．() (3)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(√) (4)若函數y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．() (5)將函數y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數y＝f(－x－1)的圖象．() 2．(xx浙江卷)在同一直角坐標系中，函數f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　∵a＞0，且a≠1，∴f(x)＝xa在(0，＋∞)上單調遞增，∴排除A；當0＜a＜1或a＞1時，B，C中f(x)與g(x)的圖象矛盾，故選D. 答案　D 3．(xx山東卷)已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　) A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 解析　由題圖可知，函數在定義域內為減函數，所以0＜a＜1.又當x＝0時，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1. 答案　D 4．已知函數f(x)＝的圖象與直線y＝x恰有三個公共點，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1,2) C．[－1,2] D．[2，＋∞) 解析　法一　特值法，令m＝2，排除C、D，令m＝0，排除A，故選B. 法二　令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2， 所以三個解必須為－1，－2和2，所以有－1≤m<2. 故選B. 答案　B 5．(人教A必修1P112A2)點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是(　　) 答案　C 考點一　簡單函數圖象的作法 【例1】 作出下列函數的圖象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝. 解　(1)y＝|lg x|＝作出圖象如圖1. (2)因y＝1＋，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即得y＝的圖象，如圖2. 規(guī)律方法　(1)常見的幾種函數圖象如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如y＝x＋(m＞0)的函數是圖象變換的基礎．(2)常握平移變換、伸縮變換、對稱變換規(guī)律，可以幫助我們簡化作圖過程． 【訓練1】 作出下列函數的圖象： (1)y＝2x＋2；(2)y＝x2－2|x|－1. 解　(1)將y＝2x的圖象向左平移2個單位．圖象如圖1.(2)y＝圖象如圖2. 考點二　函數圖象的辨識 【例2】 (1)(xx成都三診)函數y＝的部分圖象大致為(　　) (2)函數f(x)＝則y＝f(1－x)的圖象是(　　) 解析　(1)依題意，注意到當x＞0時，22x－1＞0，2x|cos 2x|≥0，此時y≥0；當x＜0時，22x－1＜0，2x|cos2x|≥0，此時y≤0，結合各選項知，故選A. (2)畫出y＝f(x)的圖象，再作其關于y軸對稱的圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象． 答案　(1)A　(2)C 規(guī)律方法　函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項． 【訓練2】 函數f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的圖象大致為(　　) 解析　因為f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，排除B；當x∈(0，π)時，1－cos x＞0，sin x＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函數f(x)的導函數f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos x，所以f′(0)＝0，排除D，故選C. 答案　C 考點三　函數圖象的應用 【例3】 (1)函數f(x)＝2ln x的圖象與函數g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點個數為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 (2)已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________． 解析　(1)在同一直角坐標系下畫出函數f(x)＝2ln x與函數g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的圖象，如圖所示． ∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)與g(x)的圖象的交點個數為2，故選B. (2)根據絕對值的意義，y＝＝ 在直角坐標系中作出該函數的圖象，如圖中實線所示．根據圖象可知，當0＜k＜1或1＜k＜4時有兩個交點． 答案　(1)B　(2)(0,1)∪(1,4) 規(guī)律方法　利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個解．數形結合是常用的思想方法． 【訓練3】 (1)已知函數y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，那么函數y＝f(x)的圖象與函數y＝|lg x|的圖象的交點共有(　　) A．10個 B．9個 C．8個 D．7個 (2)(xx黃岡調研)設函數f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是________ . 解析　(1)根據f(x)的性質及f(x)在[－1,1]上的解析式可作圖如下 可驗證當x＝10時，y＝|lg 10|＝1；當x＞10時，|lg x|＞1. 因此結合圖象及數據特點知y＝f(x)與y＝|lg x|的圖象交點共有10個． (2)如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1， ∴a≥－1. 答案　(1)A　(2)[－1，＋∞) 微型專題　函數圖象的對稱性問題 函數圖象的對稱性反映了函數的特性，是研究函數性質的一個重要方面，它包含一個函數圖象自身的對稱性和兩個函數圖象之間的對稱性，其中兩個函數圖象之間對稱性的實質是兩個函數圖象上的對應點之間的對稱性，所以問題的關鍵在于找到對應點的坐標之間的對稱性，可取同一個y值，尋找它們橫坐標之間的對稱性或者取同一個x值，尋找它們縱坐標之間的對稱性． 例4 下列說法中，正確命題的個數為(　　) ①函數y＝f(x)與函數y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0對稱； ②函數y＝f(x)與函數y＝－f(－x)的圖象關于坐標原點對稱； ③如果函數y＝f(x)對于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱； ④函數y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱． A．1 B．2 C．3 D．4 點撥　先注意區(qū)別是一個函數圖象自身的對稱還是兩個函數圖象之間的對稱，再根據函數圖象關于坐標軸、原點或一條垂直于x軸的直線對稱所滿足的條件逐個分析判斷． 解析　對于①，把函數y＝f(x)中的y換成－y，x保持不變，得到的函數的圖象與原函數的圖象關于x軸對稱；對于②，把函數y＝f(x)中的x換成－x，y換成－y，得到的函數的圖象與原函數的圖象關于原點對稱；對于③，若對于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝＝a對稱；對于④，因為函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱，它們的圖象分別向右平移1個單位長度得到函數y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象；即y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱． 答案　D 點評　本題的難點在于對函數圖象的各種對稱的正確理解，熟練掌握這些基礎知識是化解難點的關鍵．在復習備考中要對函數圖象的各種對稱進行總結. [思想方法] 1．列表描點法是作函數圖象的輔助手段，要作函數圖象首先要明確函數圖象的位置和形狀：(1)可通過研究函數的性質如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調性等；(2)可通過函數圖象的變換如平移變換、對稱變換、伸縮變換等；(3)可通過方程的同解變形，如作函數y＝的圖象． 2．合理處理識圖題與用圖題 (1)識圖 對于給定函數的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數解析式中參數的關系． (2)用圖 要用函數的思想指導解題，即方程的問題函數解(方程的根即相應函數圖象與x軸交點的橫坐標，或是方程變形后，等式兩端相對應的兩函數圖象交點的橫坐標)，不等式的問題函數解(不等式的解集即一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方時的相應x的范圍)． [易錯防范] 1．用描點法作函數圖象時，要注意取點合理，并用“平滑”的曲線連接，作完后要向兩端伸展一下，以表示在整個定義域上的圖象． 2．要注意一個函數的圖象自身對稱和兩個不同的函數圖象對稱的區(qū)別． 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx保定模擬)函數y＝21－x的大致圖象為(　　) 解析　y＝21－x＝x－1，因為0＜＜1，所以y＝x－1為減函數，取x＝0時，則y＝2，故選A. 答案　A 2．函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是(　　) 解析　函數f(x)＝ln(x2＋1)的定義域為(－∞，＋∞)，又因為f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數且f(0)＝ln 1＝0，綜上選A. 答案　A 3．為了得到函數y＝lg的圖象，只需把函數y＝lg x的圖象上所有的點(　　) A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 解析　y＝lg＝lg(x＋3)－1，將y＝lg x的圖象向左平移3個單位長度得到y(tǒng)＝lg(x＋3)的圖象，再向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x＋3)－1的圖象． 答案　C 4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范圍是(　　) A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0) 解析　在同一坐標系內作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿足條件的x∈(－1,0)，故選A. 答案　A 5．函數y＝的圖象可能是(　　) 解析　法一　函數y＝的圖象過點(e,1)，排除C，D；函數y＝的圖象過點(－e，－1)，排除A. 法二　由已知，設f(x)＝，則f(－x)＝－f(x)，故函數f(x)為奇函數，排除A，C，當x＞0時，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數，排除D. 答案　B 二、填空題 6．函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝________. 解析　與y＝ex圖象關于y軸對稱的函數為y＝e－x，依題意，f(x)圖象向右平移一個單位，得y＝e－x的圖象．∴f(x)的圖象可由y＝e－x的圖象向左平移一個單位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1. 答案　e－x－1 7．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有兩個解，則a的取值范圍是________． 解析　畫出y＝|ax|與y＝x＋a的圖象，如圖．只需a>1. 答案　(1，＋∞) 8．(xx長沙模擬)已知函數f(x)＝且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數a的范圍是________． 解析　當x≤0時，0＜2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即函數y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，所以由圖象可知0＜a≤1. 答案　(0,1] 三、解答題 9．已知函數f(x)＝. (1)畫出f(x)的草圖；(2)指出f(x)的單調區(qū)間． 解　(1)f(x)＝＝1－，函數f(x)的圖象是由反比例函數y＝－的圖象向左平移1個單位后，再向上平移1個單位得到，圖象如圖所示． (2)由圖象可以看出，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函數f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函數f(x)的單調區(qū)間，并指出其增減性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}． 解　f(x)＝ 作出函數圖象如圖． (1)函數的增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)；函數的減區(qū)間為(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐標系中作出y＝f(x)和y＝m的圖象，使兩函數圖象有四個不同的交點(如圖)．由圖知0＜m＜1， ∴M＝{m|0＜m＜1}． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 11．已知函數f(x)＝則對任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　) A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0 C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0 解析　 函數f(x)的圖象如圖所示： 且f(－x)＝f(x)，從而函數f(x)是偶函數且在[0，＋∞)上是增函數． 又0<|x1|<|x2|， ∴f(x2)>f(x1)， 即f(x1)－f(x2)<0. 答案　D 12．函數y＝的圖象與函數y＝2sin πx (－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　令1－x＝t，則x＝1－t. 由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4， 所以－3≤t≤3. 又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt. 在同一坐標系下作出y＝和y＝2sin πt的圖象． 由圖可知兩函數圖象在[－3,3]上共有8個交點，且這8個交點兩兩關于原點對稱． 因此這8個交點的橫坐標的和為0，即t1＋t2＋…＋t8＝0. 也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0， 因此x1＋x2＋…＋x8＝8. 答案　D 13．已知f(x)是以2為周期的偶函數，當x∈[0,1]時，f(x)＝x，且在[－1,3]內，關于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四個根，則k的取值范圍是________． 解析　由題意作出f(x)在[－1,3]上的示意圖如圖， 記y＝k(x＋1)＋1， ∴函數y＝k(x＋1)＋1的圖象過定點A(－1,1)． 記B(2,0)，由圖象知，方程有四個根， 即函數y＝f(x)與y＝kx＋k＋1的圖象有四個交點， 故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0. 答案　 14．已知函數f(x)的圖象與函數h(x)＝x＋＋2的圖象關于點A(0,1)對稱． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數，求實數a的取值范圍． 解　(1)設f(x)圖象上任一點P(x，y)，則點P關于(0,1)點的對稱點P′(－x,2－y)在h(x)的圖象上， 即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－. ∵g(x)在(0,2]上為減函數， ∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范圍是[3，＋∞).