2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題40 離心率的求值或取值范圍問(wèn)題黃金解題模板.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題40 離心率的求值或取值范圍問(wèn)題黃金解題模板 【高考地位】 圓錐曲線的離心率是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn),有關(guān)離心率的試題,究其原因,一是貫徹高考命題“以能力立意”的指導(dǎo)思想,離心率問(wèn)題綜合性較強(qiáng),靈活多變,能較好反映考生對(duì)知識(shí)的熟練掌握和靈活運(yùn)用的能力,能有效地反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度;二是圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有數(shù)學(xué)的實(shí)用性和美學(xué)價(jià)值,也是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 【方法點(diǎn)評(píng)】 方法1 定義法 解題模板:第一步 根據(jù)題目條件求出的值 第二步 代入公式,求出離心率. 例1. 在平面直角坐標(biāo)系中, 若雙曲線的離心率為,則的值為 . 【答案】 【變式演練1】點(diǎn)P(-3,1)在橢圓()的左準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)且方向?yàn)榈墓饩€,經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為( ) A B C D 【答案】 方法2 方程法 解題模板:第一步 設(shè)出相關(guān)未知量; 第二步 根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程; 第三步 化簡(jiǎn),求解方程,得到離心率. 例2. 【xx黑龍江省牡丹江市第一高級(jí)中學(xué)模擬】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為.若橢圓上存在一點(diǎn),且以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如圖,設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點(diǎn),連接分別是的中點(diǎn), ,且, ,根據(jù)橢圓的定義, , ,兩邊平方得: , 代入并化簡(jiǎn)得, , ,即橢圓的離心率為,故選D. 例3. 如圖,,是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn),且四邊形為矩形,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】. 【變式演練2】焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程為 ,短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形,該三角形內(nèi)切圓的半徑為,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析:由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形的面積相等得得,,即,故選C. 考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【變式演練3】【xx四川省成都市第七中學(xué)模擬】已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以為圓心、為半徑的圓上,則雙曲線的離心率為( ) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 方法3 借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系 解題模板:第一步 根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對(duì)稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系, 第二步 將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示,進(jìn)而得到不等式, 第三步 解不等式,確定離心率的范圍. 例4已知橢圓的中心在,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,若在上存在點(diǎn),使線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】如果注意到形助數(shù)的特點(diǎn),借助平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建使問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 【點(diǎn)評(píng)】離心率的范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系,如何構(gòu)建這種不等關(guān)系?可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建.利用題設(shè)和平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建不等式往往使問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 【變式演練4】已知橢圓與圓,若在橢圓上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直,則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 方法4 借助題目中給出的不等信息 解題模板:第一步 找出試題本身給出的不等條件,如已知某些量的范圍,存在點(diǎn)或直線使方程成立,的范圍等; 第二步 列出不等式,化簡(jiǎn)得到離心率的不等關(guān)系式,從而求解. 例5已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),若的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是( ) A. (1,+∞) B. (1,2] C. (1,] D. (1,3] 【答案】D 【解析】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支一的任意一點(diǎn),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),,,,,故選D. 【變式演練5】【xx廣西賀州市桂梧高中模擬】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線,與在第一象限的交點(diǎn)為,且直線的斜率大于2,其中為的左頂點(diǎn),則的離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】, ,∴,∴.選B. 方法5 借助函數(shù)的值域求解范圍 解題模板:第一步 根據(jù)題設(shè)條件,如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式; 第二步 通過(guò)確定函數(shù)的定義域; 第三步 利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍. 例6. 【xx河南省鄭州市第一中學(xué)模擬】已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合, 分別為的離心率,則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】C 【變式演練6】是經(jīng)過(guò)雙曲線 焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線,是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn), 若在上存在一點(diǎn),使,則雙曲線離心率的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:由題設(shè)可知,即,解之得,即,故.應(yīng)選A. 考點(diǎn):雙曲線的幾何性質(zhì)及運(yùn)用. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)II,理9】若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則的離心率為( ) A.2 B. C. D. 【答案】A 雙曲線的離心率。故選A。 【考點(diǎn)】 雙曲線的離心率;直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式 【名師點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法: ①求出a,c,代入公式; ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)。 2. 【xx浙江,2】橢圓的離心率是 A. B. C. D. 【答案】B 3. 【xx課標(biāo)3,理10】已知橢圓C:,(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) ,半徑為 ,圓的方程為, 直線與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即:, 整理可得,即, 從而 ,橢圓的離心率, 故選A. 【考點(diǎn)】 橢圓的離心率的求解;直線與圓的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì),求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法: ①求出a,c,代入公式e= ; ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=a2-c2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 4. 【xx北京,理9】若雙曲線的離心率為,則實(shí)數(shù)m=_________. 【答案】2 5. 【xx課標(biāo)1,理】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60,則C的離心率為________. 【答案】 【解析】試題分析: 如圖所示,作,因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn),則為雙曲線的漸近線上的點(diǎn),且, 而,所以, 點(diǎn)到直線的距離 在中, 代入計(jì)算得,即 由得 所以. 【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì). 6. 【xx課標(biāo)II,文5】若,則雙曲線的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意,因?yàn)?,所以,則,故選C. 【考點(diǎn)】雙曲線離心率 【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 7. 【xx高考新課標(biāo)2,理11】已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,?ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識(shí),正確表示點(diǎn)的坐標(biāo),利用“點(diǎn)在雙曲線上”列方程是解題關(guān)鍵,屬于中檔題. 【反饋練習(xí)】 1. 【xx福建四校聯(lián)考】已知橢圓的上下左右頂點(diǎn)分別為,且左右焦點(diǎn)為,且以 為直徑的圓內(nèi)切于菱形,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 2.【xx廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線,與在第一象限的交點(diǎn)為,且直線的斜率大于2,其中為的左頂點(diǎn),則的離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】, ,∴,∴.選B. 3. 【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】已知雙曲線E: ﹣=1(a>0,b>0),點(diǎn)F為E的左焦點(diǎn),點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,且滿足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,則E的離心率為( ) A. B. C. 2 D. 【答案】B 4. 【xx山西名校聯(lián)考】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且,點(diǎn)在橢圓上, , ,則橢圓的離心率( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于,則, , , , , , , , , ,則 ,選C. 5. 【xx江西南昌摸底】已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為, 為雙曲線上第二象限內(nèi)一點(diǎn),若直線恰為線段的垂直平分線,則雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 6. 【xx河南鄭州一中聯(lián)考】已知點(diǎn)是雙曲線(, )右支上一點(diǎn), 是右焦點(diǎn),若(是坐標(biāo)原點(diǎn))是等邊三角形,則該雙曲線離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依題意及三角函數(shù)定義,點(diǎn)A(ccos,csin),即A(c, c), 代入雙曲線方程, 可得 b2c2?3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1, 故選:D. 7. 【xx山西五校聯(lián)考】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為, , ,過(guò)作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,已知, ,點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 8. 【xx四川德陽(yáng)聯(lián)考】已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn), 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),已知=120,且,則橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設(shè),由余弦定理知,所以,故填. 9. 【xx重慶市第一中學(xué)模擬】已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn), 是它們的一個(gè)交點(diǎn),且,記橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的最大值是( ) A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 10. 【xx重慶市第一中學(xué)模擬】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, , 是橢圓上一點(diǎn), 是以為底邊的等腰三角形,若,則該橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 10. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在雙曲線上, 是坐標(biāo)原點(diǎn),若四邊行為平行四邊形,且四邊形的面積為,則雙曲線的離心率為( ) A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】設(shè),因?yàn)镺FMN為平行四邊形,所以,因?yàn)镺FMN的面積為bc,所以,選C. 11. 【xx湖南長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)模擬】已知斜率為3的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若點(diǎn)是的中點(diǎn),則雙曲線的離心率等于( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】設(shè), 則, 所以, , 所以,得,所以, 所以。故選A。 12. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設(shè)點(diǎn)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn), 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 13. 【xx河北衡水第一中學(xué)模擬】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在雙曲線的右支上,且, ,雙曲線的離心率為,則 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由,可知,由雙曲線的定義可得,即,由雙曲線的離心率可得雙曲線的焦距為,在中,由勾股定理可得,解之得,故選B. 14. 【xx河北邢臺(tái)市育才中學(xué)模擬】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,已知,點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 15. 【xx河北邢臺(tái)市育才中學(xué)模擬】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在雙曲線上,且軸,若的內(nèi)切圓半徑為,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由點(diǎn)A在雙曲線上,且AF2⊥x軸,可得A在雙曲線的右支上, 由雙曲線的定義知 又直角的內(nèi)切圓半徑為,由 故選D 16. 【xx黑龍江省齊齊哈爾市模擬】已知雙曲線的右頂點(diǎn)為,以為圓心,半徑為的圓與雙曲線的某條漸近線交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】A 17. 【xx廣西河池市高級(jí)中學(xué)模擬】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)作傾斜角為的直線與軸和雙曲線右支分別交于兩點(diǎn),若點(diǎn)平分,則該雙曲線的離心率是( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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