2019-2020年高考數(shù)學 專題40 離心率的求值或取值范圍問題黃金解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 專題40 離心率的求值或取值范圍問題黃金解題模板 【高考地位】 圓錐曲線的離心率是近年高考的一個熱點,有關離心率的試題,究其原因,一是貫徹高考命題“以能力立意”的指導思想,離心率問題綜合性較強,靈活多變,能較好反映考生對知識的熟練掌握和靈活運用的能力,能有效地反映考生對數(shù)學思想和方法的掌握程度;二是圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內容,具有數(shù)學的實用性和美學價值,也是以后進一步學習的基礎. 【方法點評】 方法1 定義法 解題模板：第一步 根據(jù)題目條件求出的值 第二步 代入公式，求出離心率. 例1. 在平面直角坐標系中, 若雙曲線的離心率為,則的值為 ． 【答案】 【變式演練1】點P（-3，1）在橢圓（）的左準線上，過點且方向為的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ） A B C D 【答案】 方法2 方程法 解題模板：第一步 設出相關未知量； 第二步 根據(jù)題目條件列出關于的方程； 第三步 化簡，求解方程，得到離心率. 例2. 【xx黑龍江省牡丹江市第一高級中學模擬】已知橢圓的左焦點為，右焦點為.若橢圓上存在一點，且以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點，則該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如圖，設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點，連接分別是的中點， ，且， ，根據(jù)橢圓的定義， ， ，兩邊平方得： ， 代入并化簡得， ， ，即橢圓的離心率為，故選D. 例3. 如圖，，是雙曲線的左、右兩個焦點，若直線與雙曲線交于、兩點，且四邊形為矩形，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】. 【變式演練2】焦點在軸上的橢圓方程為 ，短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，該三角形內切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形的面積相等得得，，即，故選C. 考點：橢圓的標準方程與幾何性質. 【變式演練3】【xx四川省成都市第七中學模擬】已知分別是雙曲線的左、右焦點，點關于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心、為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 方法3 借助平面幾何圖形中的不等關系 解題模板：第一步 根據(jù)平面圖形的關系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質中的最值等得到不等關系， 第二步 將這些量結合曲線的幾何性質用進行表示，進而得到不等式， 第三步 解不等式，確定離心率的范圍. 例4已知橢圓的中心在,右焦點為，右準線為，若在上存在點，使線段的垂直平分線經(jīng)過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】如果注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構建使問題簡單化. 【點評】離心率的范圍實質為一個不等式關系，如何構建這種不等關系？可以利用方程和垂直平分線性質構建.利用題設和平面幾何知識的最值構建不等式往往使問題簡單化. 【變式演練4】已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 方法4 借助題目中給出的不等信息 解題模板：第一步 找出試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點或直線使方程成立，的范圍等； 第二步 列出不等式，化簡得到離心率的不等關系式，從而求解. 例5已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( ) A. (1，＋∞) B. (1,2] C. (1，] D. (1,3] 【答案】D 【解析】雙曲線的左右焦點分別為為雙曲線右支一的任意一點，，，當且僅當，即時取等號，，，，，故選D. 【變式演練5】【xx廣西賀州市桂梧高中模擬】過雙曲線的右焦點作軸的垂線，與在第一象限的交點為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點，則的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，∴，∴.選B. 方法5 借助函數(shù)的值域求解范圍 解題模板：第一步 根據(jù)題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關系式； 第二步 通過確定函數(shù)的定義域； 第三步 利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍. 例6. 【xx河南省鄭州市第一中學模擬】已知橢圓與雙曲線的焦點重合, 分別為的離心率,則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】C 【變式演練6】是經(jīng)過雙曲線 焦點且與實軸垂直的直線,是雙曲線的兩個頂點, 若在上存在一點,使,則雙曲線離心率的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由題設可知,即,解之得,即,故.應選A. 考點：雙曲線的幾何性質及運用. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 雙曲線的離心率。故選A。 【考點】 雙曲線的離心率；直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式 【名師點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)。 2. 【xx浙江，2】橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】B 3. 【xx課標3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點 ，半徑為 ，圓的方程為， 直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即：， 整理可得，即， 從而 ，橢圓的離心率， 故選A. 【考點】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關系 【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式e＝ ； ②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 4. 【xx北京，理9】若雙曲線的離心率為，則實數(shù)m=_________. 【答案】2 5. 【xx課標1，理】已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60，則C的離心率為________. 【答案】 【解析】試題分析： 如圖所示，作，因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則為雙曲線的漸近線上的點，且， 而，所以， 點到直線的距離 在中， 代入計算得，即 由得 所以. 【考點】雙曲線的簡單性質. 6. 【xx課標II，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，因為，所以，則，故選C. 【考點】雙曲線離心率 【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等. 7. 【xx高考新課標2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考點定位】雙曲線的標準方程和簡單幾何性質． 【名師點睛】本題考查雙曲線的標準方程和簡單幾何性質、解直角三角形知識，正確表示點的坐標，利用“點在雙曲線上”列方程是解題關鍵，屬于中檔題． 【反饋練習】 1. 【xx福建四校聯(lián)考】已知橢圓的上下左右頂點分別為，且左右焦點為，且以 為直徑的圓內切于菱形，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．【xx廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】過雙曲線的右焦點作軸的垂線，與在第一象限的交點為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點，則的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，∴，∴.選B. 3. 【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】已知雙曲線E： ﹣=1（a＞0，b＞0），點F為E的左焦點，點P為E上位于第一象限內的點，P關于原點的對稱點為Q，且滿足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，則E的離心率為（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 4. 【xx山西名校聯(lián)考】已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓上， ， ，則橢圓的離心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于，則， ， ， ， ， ， ， ， ， ，則 ，選C. 5. 【xx江西南昌摸底】已知雙曲線的左右焦點分別為, 為雙曲線上第二象限內一點，若直線恰為線段的垂直平分線，則雙曲線的離心率為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 6. 【xx河南鄭州一中聯(lián)考】已知點是雙曲線（， ）右支上一點， 是右焦點，若（是坐標原點）是等邊三角形，則該雙曲線離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依題意及三角函數(shù)定義,點A(ccos,csin),即A(c, c)， 代入雙曲線方程， 可得 b2c2?3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1， 故選：D. 7. 【xx山西五校聯(lián)考】設雙曲線的左、右焦點分別為， ， ，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為，已知， ，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 8. 【xx四川德陽聯(lián)考】已知點是橢圓上的一點， 分別為橢圓的左、右焦點，已知=120，且，則橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設，由余弦定理知，所以，故填. 9. 【xx重慶市第一中學模擬】已知橢圓和雙曲線有共同焦點， 是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 10. 【xx重慶市第一中學模擬】已知橢圓的左、右焦點分別為， ， 是橢圓上一點， 是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 10. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上， 是坐標原點，若四邊行為平行四邊形，且四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】設，因為OFMN為平行四邊形，所以，因為OFMN的面積為bc，所以，選C. 11. 【xx湖南長沙市長郡中學模擬】已知斜率為3的直線與雙曲線交于兩點，若點是的中點，則雙曲線的離心率等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】設， 則， 所以， ， 所以，得，所以， 所以。故選A。 12. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設點是雙曲線與圓在第一象限的交點， 分別是雙曲線的左、右焦點，且，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 13. 【xx河北衡水第一中學模擬】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且， ，雙曲線的離心率為，則 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，可知，由雙曲線的定義可得，即，由雙曲線的離心率可得雙曲線的焦距為，在中，由勾股定理可得，解之得，故選B. 14. 【xx河北邢臺市育才中學模擬】設雙曲線的左、右焦點分別為，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為，已知，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 15. 【xx河北邢臺市育才中學模擬】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且軸，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由點A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，可得A在雙曲線的右支上， 由雙曲線的定義知 又直角的內切圓半徑為，由 故選D 16. 【xx黑龍江省齊齊哈爾市模擬】已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，半徑為的圓與雙曲線的某條漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 17. 【xx廣西河池市高級中學模擬】雙曲線的左、右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線右支分別交于兩點，若點平分，則該雙曲線的離心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A