第一章 §2 綜合法與分析法

第一章 2 理解教材新知 把握熱點(diǎn)考向 應(yīng)用創(chuàng)新演練 考點(diǎn)一 考點(diǎn)二 考點(diǎn)三 知識(shí)點(diǎn)一 知識(shí)點(diǎn)二 閱讀下面的例題 例：若實(shí)數(shù) a ， b 滿足 a b 2 ，證明： 2a 2b 4. 證明： 因?yàn)?a b 2 ，所以 2a 2b 2 2a2b 2 2a b 2 22 4 ，故 2a 2b 4 成立 問題 1 ：本題利用什么公式？ 問題 2 ：本題證明順序是什么？ 提示：從已知到結(jié)論 提示：基本不等式 綜合法 (1)含義：從命題的 出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過 推理，一步一步地接近要證明的 ，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法 (2)思路：綜合法的基本思路是 “由因?qū)Ч?” (3)模式：綜合法可以用以下的框圖表示： 其中 P為條件， Q為結(jié)論 條件 演繹 結(jié)論 P Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 3 Q n Q 你們看過偵探小說 福爾摩斯探案集 嗎？尤其是福爾摩斯在探案中的推理，給人印象太深刻了有時(shí)，他先假定一個(gè)結(jié)論成立，然后逐步尋找這個(gè)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件，直到找到一個(gè)明顯的證據(jù) 問題 1：他的推理如何入手？ 提示：從結(jié)論成立入手 問題 2：他又是如何分析的？ 提示：逐步探尋每一結(jié)論成立的充分條件 問題 3：這種分析問題方法在數(shù)學(xué)問題證明可以借鑒嗎？ 提示：可以 分析法 (1)含義：從求證的 出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的 ，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的 ，或者歸結(jié)為 等這種證明問題的思維方法稱為分析法 (2)思路：分析法的基本思路是 “執(zhí)果索因 ” (3)模式：若用 Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用如下的框圖來表示： 結(jié)論 充分條件 條件 定義、公理、定理 Q P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 得到一個(gè)明顯成立的條件 1綜合法是從 “已知 ”看 “可知 ”逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件它的證明格式為：因?yàn)?，所以 ，所以 所以 成立 2分析法證明問題時(shí)，是從 “未知 ”看 “需知 ”，執(zhí)果索因逐步靠攏 “已知 ”，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件它的證明格式：要證 ，只需證 ，只需證 因?yàn)?成立，所以 成立 例 1 已知 a ， b 是正數(shù)，且 a b 1 ，求證： 1a 1b 4. 思路點(diǎn)撥 由已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論 精解詳析 法一： a ， b 為正數(shù)，且 a b 1 ， a b 2 ab ， ab 12， 1a1ba bab1ab 4. 法二 ： a ， b 為正數(shù)， a b 2 ab 0 ，1a1b 21ab 0 ， ( a b )(1a1b) 4 ， 又 a b 1 ， 1a1b 4. 法三 ： a ， b 為正數(shù)， 1a1ba baa bb 1 baab 1 2 2 abba 4 ， 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)，取 “ ” 號(hào) 一點(diǎn)通 從 “已知 ”看 “可知 ”，逐步推向 “未知 ”，由因?qū)Ч?，其逐步推理，?shí)際上是尋找每一步的必要條件，如何找到 “切入點(diǎn) ”和有效的推理途徑是利用綜合法證明問題的關(guān)鍵 1 在 A BC 中， ACAB c os Bc os C ，證明 B C . 證明： 在 A BC 中，由正弦定理及已知得sin Bsin Cc os Bc os C. 于是 si n B c os C c os B sin C 0 ，即 si n ( B C ) 0 ， 因?yàn)?B C 0 時(shí)，求證： a2 b222( a b ) 思路點(diǎn)撥 條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明，將要證明的不等式一步步轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的不等式 精解詳析 要證 a2 b222( a b ) ， 只需證 ( a2 b2)222 a b 2， 即證 a2 b212( a2 b2 2 ab ) ，即證 a2 b2 2 ab . 因?yàn)?a2 b2 2 ab 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立， 所以 a2 b222( a b ) 成立 一點(diǎn)通 分析法是 “執(zhí)果索因 ”，一步步尋找結(jié)論成立的充分條件它是從求證的結(jié)論出發(fā)，逆著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知，這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的，它的常見書寫表達(dá)式是 “要證 ，只需證 ” 3 求證： 3 6 4 5 . 證明： 欲證不等式 3 6 4 5 成立， 只需證 3 2 18 64 2 20 5 成立， 即證 18 20 成立， 即證 1820 成立 由于 1820 成立，故 3 6 0 ， y 0 且 x y 1 ， y 1 x 0 ， 只需證明1 1x1 11 x 9 ， 即證 (1 x )(1 x 1) 9 x (1 x ) ， 即證 2 x x2 9 x 9 x2，即證 4 x2 4 x 1 0 ， 即證 (2 x 1)2 0 ，此式顯然成立，所以原不等式成立 分析法與綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)： 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法解題方向較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程