人教版八年級上《第13章軸對稱》單元測試(6)含答案解析.doc

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第13章 軸對稱 　 一、選擇題 1．如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC=5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（　?。? A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 2．如圖，四邊形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=（　　） A．60 B．70 C．80 D．90 3．如圖，△ABC中，∠ACB=90，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A=22，則∠BDC等于（　?。? A．44 B．60 C．67 D．77 4．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　?。? A．25 B．30 C．35 D．40 5．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠DEC的大小為（　?。? A．78 B．75 C．60 D．45 6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使DA與對角線DB重合，點A落在點A′處，折痕為DE，則A′E的長是（　?。? A．1 B． C． D．2 7．附圖（①）為一張三角形ABC紙片，P點在BC上．今將A折至P時，出現(xiàn)折線BD，其中D點在AC上，如圖（②）所示．若△ABC的面積為80，△DBC的面積為50，則BP與PC的長度比為何？（　?。? A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8 8．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為（　?。? A． B．3 C．1 D． 9．如圖，已知正方形ABCD，頂點A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2014次變換后，正方形ABCD的對角線交點M的坐標變?yōu)椋ā　。? A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2） C．（﹣2013，﹣2） D．（﹣2013，2） 10．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，把矩形沿直線BD折疊，點C落在點E處，BE與AD相交于點F，連接AE，下列結(jié)論： ①△FBD是等腰三角形；②四邊形ABDE是等腰梯形；③圖中共有6對全等三角形；④四邊形BCDF的周長為cm；⑤AE的長為cm． 其中結(jié)論正確的個數(shù)為（　　） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 11．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．則下列結(jié)論： ①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145． 其中正確的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 12．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結(jié)論： ①DF=CF； ②BF⊥EN； ③△BEN是等邊三角形； ④S△BEF=3S△DEF． 其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 13．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO′B，則點O′的坐標是（　?。? A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4） 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=，BC=1，D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么△ABE的面積是（　?。? A．1 B． C． D． 15．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處．若AD=3，BC=5，則EF的值是（　?。? A． B．2 C． D．2 　 二、填空題 16．如圖，在三角形紙片ABC中，∠C=90，AC=6，折疊該紙片，使點C落在AB邊上的D點處，折痕BE與AC交于點E，若AD=BD，則折痕BE的長為　　． 17．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處．當△CEB′為直角三角形時，BE的長為　?。? 18．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，則AE的長為　?。? 19．如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90，AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D（P在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是　?。? 20．如圖，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=　?。? 21．如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處．若AE=BE，則長AD與寬AB的比值是　?。? 22．如圖，有一直角三角形紙片ABC，邊BC=6，AB=10，∠ACB=90，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點A與點C重合，則四邊形DBCE的周長為　?。? 23．如圖是長為40cm，寬為16cm的矩形紙片，M點為一邊上的中點，沿過M的直線翻折．若中點M所在邊的一個頂點不能落在對邊上，那么M點在　?。ㄌ睢伴L”或“寬”）上，若M點所在邊的一個頂點能落在對邊上，那么折痕長度為　　cm． 24．如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷： ①當x=1時，點P是正方形ABCD的中心； ②當x=時，EF+GH＞AC； ③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是； ④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變． 其中正確的是　　（寫出所有正確判斷的序號）． 25．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一點，將矩形ABCD沿CE折疊后，點B落在AD邊的F點上，則DF的長為　?。? 26．如圖，在矩形ABCD中，AB的長度為a，BC的長度為b，其中b＜a＜b．將此矩形紙片按下列順序折疊，則C′D′的長度為　?。ㄓ煤琣、b的代數(shù)式表示）． 27．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點處，直線l與邊BC交于點D，那么BD的長為　?。? 　 三、解答題 28．如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=． （1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為　??； （2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為　??； （3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π） 29．在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中，蘊含許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形．把一張正方形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開． （1）猜想四邊形ABCD是什么四邊形； （2）請證明你所得到的數(shù)學(xué)猜想． 30．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O． （1）求證：△AOE≌△COD； （2）若∠OCD=30，AB=，求△AOC的面積． 　 第13章 軸對稱 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC=5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（　?。? A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】首先根據(jù)折疊可得AD=BD，再由△ADC的周長為17cm可以得到AD+DC的長，利用等量代換可得BC的長． 【解答】解：根據(jù)折疊可得：AD=BD， ∵△ADC的周長為17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）， ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm． 故選：C． 【點評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等． 　 2．如圖，四邊形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=（　?。? A．60 B．70 C．80 D．90 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BMF和∠BNF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出∠BMN=∠FMN=∠FMB=55，∠BNM=∠FNM=∠FNM=45，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A=110，∠C=90， ∴∠FMB=110，∠FNB=∠C=90， ∵△BMN沿MN翻折，得△FMN， ∴△BMN≌△FMN， ∴∠BMN=∠FMN=∠FMB=110=55，∠BNM=∠FNM=∠FNM=45， ∠B=180﹣∠BMN﹣∠BNM=80， 故選C． 【點評】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，翻折變換，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BMN和∠BNM的度數(shù)． 　 3．如圖，△ABC中，∠ACB=90，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A=22，則∠BDC等于（　?。? A．44 B．60 C．67 D．77 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由△ABC中，∠ACB=90，∠A=22，可求得∠B的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可得：∠CED=∠B=68，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性質(zhì)，可求得∠ADE的度數(shù)，繼而求得答案． 【解答】解：△ABC中，∠ACB=90，∠A=22， ∴∠B=90﹣∠A=68， 由折疊的性質(zhì)可得：∠CED=∠B=68，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46， ∴∠BDC==67． 故選C． 【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 4．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　?。? A．25 B．30 C．35 D．40 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25， ∴∠B=90﹣25=65， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65﹣25=40． 故選D． 【點評】本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠DEC的大小為（　?。? A．78 B．75 C．60 D．45 【考點】翻折變換（折疊問題）；菱形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30，∠ADC=120，∠C=60，進而求出∠PDC=90，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)． 【解答】解：連接BD， ∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60， ∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120，∠C=60， ∵P為AB的中點， ∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30， ∴∠PDC=90， ∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45， 在△DEC中，∠DEC=180﹣（∠CDE+∠C）=75． 故選：B． 【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使DA與對角線DB重合，點A落在點A′處，折痕為DE，則A′E的長是（　?。? A．1 B． C． D．2 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的長，由折疊的性質(zhì)，即可求得A′B的長，然后設(shè)A′E=x，由勾股定理即可得：x2+4=（4﹣x）2，解此方程即可求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=90， ∴BD==5， 由折疊的性質(zhì)，可得：A′D=AD=3，A′E=AE，∠DA′E=90， ∴A′B=BD﹣A′D=5﹣3=2， 設(shè)A′E=x， 則AE=x，BE=AB﹣AE=4﹣x， 在Rt△A′BE中，A′E2+A′B2=BE2， ∴x2+4=（4﹣x）2， 解得：x=． ∴A′E=． 故選C． 【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 　 7．附圖（①）為一張三角形ABC紙片，P點在BC上．今將A折至P時，出現(xiàn)折線BD，其中D點在AC上，如圖（②）所示．若△ABC的面積為80，△DBC的面積為50，則BP與PC的長度比為何？（　　） A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8 【考點】翻折變換（折疊問題）；三角形的面積． 【分析】由題意分別計算出△DBP與△DCP的面積，從而BP：PC=S△DBP：S△DCP，問題可解． 【解答】解：由題意可得：S△ABD=S△ABC﹣S△DBC=80﹣50=30． 由折疊性質(zhì)可知，S△DBP=S△ABD=30， ∴S△DCP=S△DBC﹣S△DBP=50﹣30=20． ∴BP：PC=S△DBP：S△DCP=30：20=3：2． 故選A． 【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后的兩個三角形是全等三角形，它們的面積相等． 　 8．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為（　?。? A． B．3 C．1 D． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】首先利用勾股定理計算出AC的長，再根據(jù)折疊可得△DEC≌△D′EC，設(shè)ED=x，則D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根據(jù)勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可． 【解答】解：∵AB=3，AD=4， ∴DC=3， ∴AC==5， 根據(jù)折疊可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E， 設(shè)ED=x，則D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2， 22+x2=（4﹣x）2， 解得：x=， 故選：A． 【點評】此題主要考查了圖形的翻著變換，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等． 　 9．如圖，已知正方形ABCD，頂點A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2014次變換后，正方形ABCD的對角線交點M的坐標變?yōu)椋ā　。? A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2） C．（﹣2013，﹣2） D．（﹣2013，2） 【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)；坐標與圖形變化-平移． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】首先由正方形ABCD，頂點A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的對角線交點M的對應(yīng)點的坐標，即可得規(guī)律：第n次變換后的點M的對應(yīng)點的為：當n為奇數(shù)時為（2﹣n，﹣2），當n為偶數(shù)時為（2﹣n，2），繼而求得把正方形ABCD連續(xù)經(jīng)過2014次這樣的變換得到正方形ABCD的對角線交點M的坐標． 【解答】解：∵正方形ABCD，頂點A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）． ∴對角線交點M的坐標為（2，2）， 根據(jù)題意得：第1次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2）， 第2次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為：（2﹣2，2），即（0，2）， 第3次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2）， 第n次變換后的點M的對應(yīng)點的為：當n為奇數(shù)時為（2﹣n，﹣2），當n為偶數(shù)時為（2﹣n，2）， ∴連續(xù)經(jīng)過2014次變換后，正方形ABCD的對角線交點M的坐標變?yōu)椋ī?012，2）． 故選：A． 【點評】此題考查了對稱與平移的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：第n次變換后的對角線交點M的對應(yīng)點的坐標為：當n為奇數(shù)時為（2﹣n，﹣2），當n為偶數(shù)時為（2﹣n，2）是解此題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，把矩形沿直線BD折疊，點C落在點E處，BE與AD相交于點F，連接AE，下列結(jié)論： ①△FBD是等腰三角形；②四邊形ABDE是等腰梯形；③圖中共有6對全等三角形；④四邊形BCDF的周長為cm；⑤AE的長為cm． 其中結(jié)論正確的個數(shù)為（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；等腰梯形的判定． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】①由折疊的性質(zhì)可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF，可證得結(jié)論； ②∠AEF=（180﹣∠AFE）2=（180﹣∠BFD）2=∠FBD，則AE∥BD，由AB=DE，可證得； ③根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到相等的邊角，即可判斷； ④根據(jù)勾股定理即可求得BF的長，則DF可知，從而求得四邊形的周長； ⑤利用△BDF∽△EAF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解． 【解答】解：①由折疊的性質(zhì)知，CD=ED，BE=BC． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90， ∴AB=DE，BE=AD，BD=BD， ∴△ABD≌△EDB， ∴∠EBD=∠ADB， ∴BF=DF，即△FBD是等腰三角形，結(jié)論正確； ②∵AD=BE，AB=DE，AE=AE， ∴△AED≌△EAB（SSS）， ∴∠AEB=∠EAD， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AEB=∠EBD， ∴AE∥BD， 又∵AB=DE， ∴四邊形ABDE是等腰梯形．結(jié)論正確； ③圖中的全等三角形有：△ABD≌△CDB，△ABD≌△EDB，△CDB≌△EDB，△ABF≌△EDF，△ABE≌△EDA共有5對，則結(jié)論錯誤； ④BC=BE=8cm，CD=ED=AB=6cm， 則設(shè)BF=DF=xcm，則AF=8﹣xcm， 在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，則36+（8﹣x）2=x2， 解得：x=cm， 則四邊形BCDF的周長為：8+6+2=14+=cm，則結(jié)論正確； ⑤在直角△BCD中，BD==10， ∵AE∥BD， ∴△BDF∽△EAF， ∴==， ∴AE=BD=10=cm．則結(jié)論正確． 綜上所述，正確的結(jié)論有①②④⑤，共4個． 故選：C． 【點評】本題考查了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；②全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，三角形的內(nèi)角和，平行線的判定求解． 　 11．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．則下列結(jié)論： ①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145． 其中正確的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】翻折變換（折疊問題）；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；分別求出S△EGC與S△AFE的面積比較即可；求得∠GAF=45，∠AGB+∠AED=180﹣∠GAF=135． 【解答】解：①正確． 理由： ∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； ②正確． 理由： EF=DE=CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6﹣x． 在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2， 解得x=3． ∴BG=3=6﹣3=CG； ③正確． 理由： ∵CG=BG，BG=GF， ∴CG=GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG； ∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG∥CF； ④正確． 理由： ∵S△GCE=GC?CE=34=6， ∵S△AFE=AF?EF=62=6， ∴S△EGC=S△AFE； ⑤錯誤． ∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE， 又∵∠BAD=90， ∴∠GAE=45， ∴∠AGB+∠AED=180﹣∠GAE=135． 故選：C． 【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 　 12．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結(jié)論： ①DF=CF； ②BF⊥EN； ③△BEN是等邊三角形； ④S△BEF=3S△DEF． 其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考點】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的判定；矩形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF=FM=DF； 易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN； 易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形； 易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BCD=90，DF=MF， 由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF=∠D=90， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正確； ∵∠BFM=90﹣∠EBF，∠BFC=90﹣∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC， ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN， ∴∠BFE=∠BFN， ∵∠BFE+∠BFN=180， ∴∠BFE=90， 即BF⊥EN，故②正確； ∵在△DEF和△CNF中， ， ∴△DEF≌△CNF（ASA）， ∴EF=FN， ∴BE=BN， 假設(shè)△BEN是等邊三角形，則∠EBN=60，∠EBA=30， 則AE=BE，又∵AE=AD，則AD=BC=BE， 而明顯BE=BN＞BC， ∴△BEN不是等邊三角形；故③錯誤； ∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM， ∴BE=3EM， ∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF； 故④正確． 故選B． 【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 13．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB沿直線AB翻折后得到△AO′B，則點O′的坐標是（　?。? A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4） 【考點】翻折變換（折疊問題）；一次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】作O′M⊥y軸，交y于點M，O′N⊥x軸，交x于點N，由直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出B（0，2），A（2，0），和∠BAO=30，運用直角三角形求出MB和MO′，再求出點O′的坐標． 【解答】解：如圖，作O′M⊥y軸，交y于點M，O′N⊥x軸，交x于點N， ∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點， ∴B（0，2），A（2，0）， ∴∠BAO=30， 由折疊的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60， ∴MB=1，MO′=， ∴OM=3，ON=O′M=， ∴O′（，3）， 故選：A． 【點評】本題主要考查了折疊問題及一次函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是運用折疊的特性得出相等的角與線段． 　 14．（2013?綏化）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=，BC=1，D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么△ABE的面積是（　?。? A．1 B． C． D． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】先根據(jù)勾股定理計算出AB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BAC=30，在根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30，在Rt△BCF中可計算出CF=，BF=2CF=，則EF=2﹣，在Rt△DEF中計算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE計算即可． 【解答】解：∵∠C=90，AC=，BC=1， ∴AB==2， ∴∠BAC=30， ∵△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處， ∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30，DA=DE， ∵AD⊥ED， ∴BC∥DE， ∴∠CBF=∠BED=30， 在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=， ∴EF=2﹣， 在Rt△DEF中，F(xiàn)D=EF=1﹣，ED=FD=﹣1， ∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE =2S△ABD+S△ADE =2BC?AD+AD?ED =21（﹣1）+（﹣1）（﹣1） =1． 故選A． 【點評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 15．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處．若AD=3，BC=5，則EF的值是（　?。? A． B．2 C． D．2 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，則AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90，則可判斷四邊形ABHD為矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理計算出DH=2，所以EF=． 【解答】解：∵分別以ED，EC為折痕將兩個角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處， ∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5， ∴AB=2EF，DC=DF+CF=8， 作DH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠B=90， ∴四邊形ABHD為矩形， ∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2， 在Rt△DHC中，DH==2， ∴EF=DH=． 故選：A． 【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理． 　 二、填空題 16．如圖，在三角形紙片ABC中，∠C=90，AC=6，折疊該紙片，使點C落在AB邊上的D點處，折痕BE與AC交于點E，若AD=BD，則折痕BE的長為　4　． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BC=BD，∠BDE=∠C=90，再根據(jù)AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30，由銳角三角函數(shù)的定義可求出BC的長，設(shè)BE=x，則CE=6﹣x，在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理即可得出BE的長． 【解答】解：∵△BDE由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90， ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE， ∴∠A=30， 在Rt△ABC中， ∵AC=6， ∴BC=AC?tan30=6=2， 設(shè)BE=x，則CE=6﹣x， 在Rt△BCE中， ∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x， ∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4． 故答案為：4． 【點評】本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處．當△CEB′為直角三角形時，BE的長為　或3?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況： ①當點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示． 連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90，而當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x． ②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形． 【解答】解：當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況： ①當點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示． 連結(jié)AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處， ∴∠AB′E=∠B=90， 當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90， ∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5﹣3=2， 設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4﹣x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=， ∴BE=； ②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示． 此時ABEB′為正方形，∴BE=AB=3． 綜上所述，BE的長為或3． 故答案為：或3． 【點評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解． 　 18．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，則AE的長為　?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】首先利用勾股定理計算出BD的長，再根據(jù)折疊可得AD=A′D=5，進而得到A′B的長，再設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82，解出x的值，可得答案． 【解答】解：∵AB=12，BC=5， ∴AD=5，BD==13， 根據(jù)折疊可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13﹣5=8， 設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=12﹣x， 在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82， 解得：x=， 故答案為：． 【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等． 　 19．如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90，AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D（P在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是　2π?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；弧長的計算． 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及△ABC是等腰直角三角形判斷出點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形，然后利用弧長公式列式計算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， 如圖，點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形， 路徑長==2π． 故答案為：2π． 【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，弧長的計算，判斷出點D的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=　?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】連接EF，則可證明△EA′F≌△EDF，從而根據(jù)BF=BA′+A′F，得出BF的長，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的長度． 【解答】解：連接EF， ∵點E、點F是AD、DC的中點， ∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=， 由折疊的性質(zhì)可得AE=A′E， ∴A′E=DE， 在Rt△EA′F和Rt△EDF中， ∵， ∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL）， ∴A′F=DF=， ∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=， 在Rt△BCF中，BC==． ∴AD=BC=． 故答案為：． 【點評】本題考查了翻折變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是連接EF，證明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的長，注意掌握勾股定理的表達式． 　 21．如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處．若AE=BE，則長AD與寬AB的比值是　?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】由AE=BE，可設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k．由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90，CD=AB=5k，AD=BC．由折疊的性質(zhì)可得∠EFC=∠B=90，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，進而求解即可． 【解答】解：∵AE=BE， ∴設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=∠D=90，CD=AB=5k，AD=BC． ∵將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處， ∴∠EFC=∠B=90，EF=EB=3k，CF=BC， ∴∠AFE+∠DFC=90，∠DFC+∠FCD=90， ∴∠DCF=∠AFE， ∴cos∠AFE=cos∠DCF． 在Rt△AEF中， ∵∠A=90，AE=2k，EF=3k， ∴AF==k， ∴=，即=， ∴CF=3k， ∴AD=BC=CF=3k， ∴長AD與寬AB的比值是=． 故答案為：． 【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及三角函數(shù)的定義．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 　 22．如圖，有一直角三角形紙片ABC，邊BC=6，AB=10，∠ACB=90，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點A與點C重合，則四邊形DBCE的周長為　18?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】計算題． 【分析】先由折疊的性質(zhì)得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，進而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD==5，DE為△ABC的中位線，得到DE的長，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四邊形DBCE的周長． 【解答】解：∵沿DE折疊，使點A與點C重合， ∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A， ∴∠BCD=90﹣∠DCE， 又∵∠B=90﹣∠A， ∴∠B=∠BCD， ∴BD=CD=AD==5， ∴DE為△ABC的中位線， ∴DE==3， ∵BC=6，AB=10，∠ACB=90， ∴， ∴四邊形DBCE的周長為：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18． 故答案為：18． 【點評】本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運用．本題中得到ED是△ABC的中位線關(guān)鍵． 　 23．如圖是長為40cm，寬為16cm的矩形紙片，M點為一邊上的中點，沿過M的直線翻折．若中點M所在邊的一個頂點不能落在對邊上，那么M點在　寬?。ㄌ睢伴L”或“寬”）上，若M點所在邊的一個頂點能落在對邊上，那么折痕長度為　10或8　cm． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】過F作ME⊥AD于E，可得出四邊形ABME為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到AE=BF，AB=EM，分兩種情況考慮：（i）當G在AB上，B′落在AE上時，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的長，由AE﹣B′E求出AB′的長，設(shè)AG=x，由AB﹣AG表示出BG，即為B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AG的長，進而求出BG的長，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的長；（ii）當G在AE上，B′落在ED上，如圖2所示，同理求出B′E的長，設(shè)A′G=AG=y，由AE+B′E﹣AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，求出AG的長，由AE﹣AG求出GE的長，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的長，綜上，得到所有滿足題意的折痕MG的長． 【解答】解：（1）∵若點M在寬上，則16cm=8cm， ∴沿過M的直線翻折不能落在對邊上； （2）分兩種情況考慮： （i）如圖1所示，過M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四邊形ABME為矩形， ∴EM=AB=16，AE=BM， 又∵BC=40，M為BC的中點， ∴由折疊可得：B′M=BM=BC=20， 在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==12， ∴AB′=AE+B′E=20+12=32， 設(shè)AG=x，則有GB′=GB=16﹣x， 在Rt△AGB′中，根據(jù)勾股定理得：GB′2=AG2+A′B′2， 即（16﹣x）2=x2+82， 解得：x=6， ∴GB=16﹣6=10， 在Rt△GBF中，根據(jù)勾股定理得：GM==10； （ii）如圖2所示，過F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四邊形ABME為矩形， ∴EM=AB=16，AE=BM， 又BC=40，M為BC的中點， ∴由折疊可得：B′M=BM=BC=20， 在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==12， ∴AB′=AE+B′E=20+12=32， 設(shè)AG=A′G=y，則GB′=AB′﹣AG=AE+EB′﹣AG=32﹣y，A′B′=AB=16， 在Rt△A′B′G中，根據(jù)勾股定理得：A′G2+A′B′2=GB′2， 即y2+162=（32﹣y）2， 解得：y=12， ∴AG=12， ∴GE=AE﹣AG=20﹣12=8， 在Rt△GEM中，根據(jù)勾股定理得：GM==8， 綜上，折痕MG=10或8． 故答案為：寬，10或8． 【點評】此題考查了翻折變換﹣折疊問題，涉及的知識有：矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了方程、轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題． 　 24．如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷： ①當x=1時，點P是正方形ABCD的中心； ②當x=時，EF+GH＞AC； ③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是； ④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變． 其中正確的是?、佗堋。▽懗鏊姓_判斷的序號）． 【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】（1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當AE=1時，重合點P是BD的中點，即點P是正方形ABCD的中心； （2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，從而得出結(jié)論． （3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值． （4）六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解． 【解答】解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P， ∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形， ∴當AE=1時，重合點P是BD的中點， ∴點P是正方形ABCD的中心； 故①結(jié)論正確， （2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P， ∴△BEF∽△BAC， ∵x=， ∴BE=2﹣=， ∴=，即=， ∴EF=AC， 同理，GH=AC， ∴EF+GH=AC， 故②結(jié)論錯誤， （3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積． ∵AE=x， ∴六邊形AEFCHG面積=22﹣BE?BF﹣GD?HD=4﹣（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3， ∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3， 故③結(jié)論錯誤， （4）當0＜x＜2時， ∵EF+GH=AC， 六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2 故六邊形AEFCHG周長的值不變， 故④結(jié)論正確． 故答案為：①④． 【點評】考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強，有一定的難度． 　 25．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一點，將矩形ABCD沿CE折疊后，點B落在AD邊的F點上，則DF的長為　6?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CD=AB=8，∠D=90，根據(jù)折疊性質(zhì)得出CF=BC=10，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=DC=8，∠D=90， ∵將矩形ABCD沿CE折疊后，點B落在AD邊的F點上， ∴CF=BC=10， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF===6， 故答案為：6． 【點評】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出CF和DC的長，題目比較典型，難度適中． 　 26．如圖，在矩形ABCD中，AB的長度為a，BC的長度為b，其中b＜a＜b．將此矩形紙片按下列順序折疊，則C′D′的長度為　3a﹣2b?。ㄓ煤琣、b的代數(shù)式表示）． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】由軸對稱可以得出A′B=AB=a，就有A′C=b﹣a，從而就有A′C′=b﹣a，就可以得出C′D′=a﹣2（b﹣a），化簡就可以得出結(jié)論． 【解答】解：由軸對稱可以得出A′B=AB=a， ∵BC=b， ∴A′C=b﹣a． 由軸對稱可以得出A′C′=b﹣a， ∴C′D′=a﹣2（b﹣a）， ∴C′D′=3a﹣2b． 故答案為：3a﹣2b． 【點評】本題考查了軸對稱的運用，代數(shù)式的運用，折疊問題在實際問題中的運用，解答本題時利用折疊問題抓住在折疊變化中不變的線段是解答本題的關(guān)鍵． 　 27．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點處，直線l與邊BC交于點D，那么BD的長為　　． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)已知得出△ABC的高以及B′E的長，利用勾股定理求出BD即可． 【解答】解：過點A作AQ⊥BC于點Q， ∵AB=AC，BC=8，tanC=， ∴=，QC=BQ=4， ∴AQ=6， ∵將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點處， 過B′點作B′E⊥BC于點E， ∴B′E=AQ=3， ∴=， ∴EC=2， 設(shè)BD=x，則B′D=x， ∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x， ∴x2=（6﹣x）2+32， 解得：x=， 直線l與邊BC交于點D，那么BD的長為：． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知表示出DE的長是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題 28．、如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=． （1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為　??； （2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為　﹣??； （3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π） 【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；弧長的計算． 【專題】探究型． 【分析】（1）先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD′，D′E的長，再根據(jù)勾股定理求出