2019年高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專題19 橢圓檢測(cè).doc

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專題19 橢圓一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題 1．(2016湖南六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 【答案】　A 【解析】　依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1. 2．已知橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21 【答案】　D 3．(2017青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　設(shè)P(x0，y0)，則＝－，化簡(jiǎn)得＋＝1，則＝，e＝＝＝，故選D. 4.2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過(guò)了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過(guò)，正式開始實(shí)施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號(hào)是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】　D 5．(2016貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D．2 【答案】　D 【解析】　設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時(shí)面積最大，所以2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2 (當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時(shí)取等號(hào))，故選D. 6．若橢圓＋＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)(2,1)作圓x2＋y2＝4的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程為________________．【答案】?。? 7．已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為________．【答案】　7 【解析】　由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 8．(2017石家莊質(zhì)檢)橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________________．【答案】　(－，) 【解析】　設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋，y)，＝(x－，y)． ∵∠F1PF2為鈍角，∴<0，即x2－3＋y2<0，① ∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<. 解得－b>0)的左頂點(diǎn)A(－a，0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________．【答案】　 10．如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程．【答案】: (1)求橢圓C的離心率； (2) 直線l的方程為2x－y＋2＝0. 橢圓C的方程為＋y2＝1. 【解析】(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a， 4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2，∴橢圓C：＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0. Δ＝322＋1617(b2－4)>0，解得b>. x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OP⊥OQ，∴＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0. 從而－＋4＝0，解得b＝1，滿足b>.∴橢圓C的方程為＋y2＝1. 二、能力提高題 1.(2016濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)A1，A2為橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于A1，A2的點(diǎn)P，使得＝0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1) 【答案】　D ∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如圖， Δ＝(a3)2－4(b2－a2)(－a2b2)＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0， ∴對(duì)稱軸滿足0<－.又0<<1，∴<<1，故選D. 2．(2015天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，離心率為. (1)求直線BF的斜率； (2)設(shè)直線 BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B)，過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)B)，直線PQ與y軸交于點(diǎn)M，|PM|＝λ|MQ|. ①求λ的值； ②若|PM|sin∠BQP＝，求橢圓的方程．【答案】: (1) 直線BF的斜率為2； (2) λ＝. 橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． ①由(1)可得橢圓的方程為＋＝1，直線BF的方程為y＝2x＋2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－. 因?yàn)锽Q⊥BP，所以直線BQ的方程為y＝－x＋2c，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝. 又因?yàn)棣耍郊皒M＝0，可得λ＝＝＝. ②因?yàn)椋?，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|. 又因?yàn)閨PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝. 又因?yàn)閥P＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1. 所以，橢圓方程為＋＝1. 3．(2016長(zhǎng)春調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)．過(guò)F，B，A三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(p，q)． (1)當(dāng)p＋q≤0時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍； (2)若點(diǎn)D(b＋1,0)，在(1)的條件下，當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí)，(＋)的最小值為，求橢圓的方程．【答案】: (1) ≤e<1.； (2) 橢圓的方程為＋＝1. (2)當(dāng)e＝時(shí)，a＝b＝c，此時(shí)橢圓的方程為＋＝1，設(shè)M(x，y)，則－c≤x≤c，所以(＋)＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－. 當(dāng)c≥時(shí)，上式的最小值為c2－，即c2－＝，得c＝2；當(dāng)0

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