2019年高考數(shù)學 25個必考點 專題19 橢圓檢測.doc

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專題19 橢圓 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1．(2016湖南六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e＝，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 【答案】　A 【解析】　依題意，可設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1. 2．已知橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21 【答案】　D 3．(2017青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右頂點，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　設(shè)P(x0，y0)，則＝－， 化簡得＋＝1， 則＝，e＝ ＝ ＝，故選D. 4.2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導小組審議通過，正式開始實施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】　D 5．(2016貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D．2 【答案】　D 【解析】　設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距， 依題意知，當三角形的高為b時面積最大， 所以2cb＝1，bc＝1， 而2a＝2≥2＝2 (當且僅當b＝c＝1時取等號)，故選D. 6．若橢圓＋＝1(a>0，b>0)的焦點在x軸上，過點(2,1)作圓x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為________________． 【答案】　＋＝1 7．已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________． 【答案】　7 【解析】　由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10， 從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 8．(2017石家莊質(zhì)檢)橢圓＋y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是________________． 【答案】　(－，) 【解析】　設(shè)橢圓上一點P的坐標為(x，y)， 則＝(x＋，y)，＝(x－，y)． ∵∠F1PF2為鈍角，∴<0，即x2－3＋y2<0，① ∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<. 解得－b>0)的左頂點A(－a，0)作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________． 【答案】　 10．如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點，上頂點分別為A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若斜率為2的直線l過點(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程． 【答案】: (1)求橢圓C的離心率； (2) 直線l的方程為2x－y＋2＝0. 橢圓C的方程為＋y2＝1. 【解析】(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a， 4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2，∴橢圓C：＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直線l的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0. Δ＝322＋1617(b2－4)>0，解得b>. x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OP⊥OQ，∴＝0， 即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0. 從而－＋4＝0， 解得b＝1，滿足b>.∴橢圓C的方程為＋y2＝1. 二、能力提高題 1.(2016濟南質(zhì)檢)設(shè)A1，A2為橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右頂點，若在橢圓上存在異于A1，A2的點P，使得＝0，其中O為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1) 【答案】　D ∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如圖， Δ＝(a3)2－4(b2－a2)(－a2b2)＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0， ∴對稱軸滿足0<－.又0<<1，∴<<1，故選D. 2．(2015天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點為B，左焦點為F，離心率為. (1)求直線BF的斜率； (2)設(shè)直線 BF與橢圓交于點P(P異于點B)，過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q(Q異于點B)，直線PQ與y軸交于點M，|PM|＝λ|MQ|. ①求λ的值； ②若|PM|sin∠BQP＝，求橢圓的方程． 【答案】: (1) 直線BF的斜率為2； (2) λ＝. 橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)點P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． ①由(1)可得橢圓的方程為＋＝1，直線BF的方程為y＝2x＋2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－. 因為BQ⊥BP，所以直線BQ的方程為y＝－x＋2c，與橢圓方程聯(lián)立，消去y， 整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝. 又因為λ＝及xM＝0，可得λ＝＝＝. ②因為＝，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|. 又因為|PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝. 又因為yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝ ＝c， 因此c＝，得c＝1. 所以，橢圓方程為＋＝1. 3．(2016長春調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，M為橢圓上任意一點．過F，B，A三點的圓的圓心坐標為(p，q)． (1)當p＋q≤0時，求橢圓的離心率的取值范圍； (2)若點D(b＋1,0)，在(1)的條件下，當橢圓的離心率最小時，(＋)的最小值為，求橢圓的方程． 【答案】: (1) ≤e<1.； (2) 橢圓的方程為＋＝1. (2)當e＝時，a＝b＝c，此時橢圓的方程為＋＝1， 設(shè)M(x，y)，則－c≤x≤c， 所以(＋)＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－. 當c≥時，上式的最小值為c2－，即c2－＝，得c＝2； 當0

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