2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2.doc

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2.3 數(shù)學(xué)歸納法 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0 等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 答案：C 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)2， 故需增乘的代數(shù)式為2(2k＋1)． 答案：B 3．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n＋1－3條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故應(yīng)選C. 答案：C 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．3434k＋1＋5252k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝8134k＋1＋2552k＋1 ＝5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 答案：A 5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋＋＋ C．f(n)中共有n2－n＋2項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋＋＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋＋＋ 解析：由條件可知，f(n)共有項(xiàng)數(shù)為n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2項(xiàng)，且n＝2時(shí)， f(2)＝＋＋＋.故選C. 答案：C 6．凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：將k＋1邊形A1A2…AkAk＋1的頂點(diǎn)A1與Ak相連，則原多邊形被分割為k邊形A1A2…Ak與三角形A1AkAk＋1，其內(nèi)角和f(k＋1)是k邊形的內(nèi)角和f(k)與△A1AkAk＋1的內(nèi)角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π 7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，歸納猜想得出an的表達(dá)式為________． 解析：∵a1＝2，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， 于是猜想an＝. 答案：an＝(n∈N*) 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)計(jì)算a2，a3，a4； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解析：(1)a1＝1，a2＝＝， a3＝＝，a4＝＝. (2)由(1)的計(jì)算猜想：an＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即ak＝， 那么，ak＋1＝＝＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由①②可知，對(duì)任意n∈N*都有an＝. 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＝， 右邊＝1－＝. 因?yàn)?，所以不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－ ＝1－<1－ ＝1－. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 綜上所述，對(duì)任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立． [B組　能力提升] 1．已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．9 D．6 解析：因?yàn)閒(1)＝36＝49，f(2)＝108＝129，f(3)＝360＝409，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推測(cè)最大的m值為9. 答案：C 2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)n2＝1， 當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4， 當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9， 當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝21＋2＝4，右邊＝1， 所以左邊>右邊， 所以原不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6， 右邊＝22＝4，所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9， 所以左邊>右邊． 不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，且k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即2k＋2>k2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 原不等式成立． 根據(jù)(1)和(2)知，原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立． 6．已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＝1－bn. (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說明理由． 解析：(1)由已知得 因?yàn)閧an}的公差大于0，所以a5>a2， 所以a2＝3，a5＝9. 所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1. 因?yàn)門n＝1－bn，所以b1＝. 當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1＝1－bn－1， 所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)， 化簡(jiǎn)得bn＝bn－1. 所以{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 即bn＝()n－1＝. 所以an＝2n－1，bn＝. (2)因?yàn)镾n＝n＝n2， 所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝. 下面比較與Sn＋1的大?。? 當(dāng)n＝1時(shí)，＝，S2＝4，所以S5， 猜想：n≥4時(shí)，>Sn＋1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝4時(shí)，已證． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥4)時(shí)>Sk＋1， 即>(k＋1)2， 那么，＝＝3>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 ＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2 ＝S(k＋1)＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，>Sn＋1也成立． 由①②可知，對(duì)任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立． 綜上所述，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，Sn＋1.