2017-2018學年高中數學 第二章 推理與證明 2.3 數學歸納法優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

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2.3 數學歸納法 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗第一個值n0 等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：邊數最少的凸n邊形是三角形． 答案：C 2．用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)時，從“n＝k到n＝k＋1”左邊需增乘的代數式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：當n＝k時，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時， 左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)2， 故需增乘的代數式為2(2k＋1)． 答案：B 3．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形對角線的條數f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：增加一個頂點，就增加n＋1－3條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故應選C. 答案：C 4．用數學歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時，當n＝k＋1時，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．3434k＋1＋5252k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝8134k＋1＋2552k＋1 ＝5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 答案：A 5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝1＋＋＋ C．f(n)中共有n2－n＋2項，當n＝2時，f(2)＝1＋＋＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝1＋＋＋ 解析：由條件可知，f(n)共有項數為n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2項，且n＝2時， f(2)＝＋＋＋.故選C. 答案：C 6．凸k邊形內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和為f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：將k＋1邊形A1A2…AkAk＋1的頂點A1與Ak相連，則原多邊形被分割為k邊形A1A2…Ak與三角形A1AkAk＋1，其內角和f(k＋1)是k邊形的內角和f(k)與△A1AkAk＋1的內角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π 7．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納猜想得出an的表達式為________． 解析：∵a1＝2，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， 于是猜想an＝. 答案：an＝(n∈N*) 8．已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)計算a2，a3，a4； (2)猜想an的表達式，并用數學歸納法證明． 解析：(1)a1＝1，a2＝＝， a3＝＝，a4＝＝. (2)由(1)的計算猜想：an＝. 下面用數學歸納法進行證明： ①當n＝1時，a1＝1，等式成立． ②假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即ak＝， 那么，ak＋1＝＝＝， 即當n＝k＋1時等式也成立． 由①②可知，對任意n∈N*都有an＝. 9．用數學歸納法證明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 證明：(1)當n＝2時，左邊＝＝， 右邊＝1－＝. 因為<，所以不等式成立． (2)假設n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 則當n＝k＋1時， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－ ＝1－<1－ ＝1－. 所以當n＝k＋1時，不等式也成立． 綜上所述，對任意n≥2的正整數，不等式都成立． [B組　能力提升] 1．已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然數m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．9 D．6 解析：因為f(1)＝36＝49，f(2)＝108＝129，f(3)＝360＝409，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推測最大的m值為9. 答案：C 2．設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當k≤5時，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當k≥8時，均有f(k)n2＝1， 當n＝2時，22＋2＝6>n2＝4， 當n＝3時，23＋2＝10>n2＝9， 當n＝4時，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立． 下面用數學歸納法證明： (1)當n＝1時， 左邊＝21＋2＝4，右邊＝1， 所以左邊>右邊， 所以原不等式成立． 當n＝2時，左邊＝22＋2＝6， 右邊＝22＝4，所以左邊>右邊； 當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9， 所以左邊>右邊． 不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥3，且k∈N*)時，不等式成立， 即2k＋2>k2，那么當n＝k＋1時， 2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 原不等式成立． 根據(1)和(2)知，原不等式對于任何n∈N*都成立． 6．已知等差數列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的兩根，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＝1－bn. (1)求數列{an}、{bn}的通項公式； (2)設數列{an}的前n項和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說明理由． 解析：(1)由已知得 因為{an}的公差大于0，所以a5>a2， 所以a2＝3，a5＝9. 所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1. 因為Tn＝1－bn，所以b1＝. 當n≥2時，Tn－1＝1－bn－1， 所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)， 化簡得bn＝bn－1. 所以{bn}是首項為，公比為的等比數列， 即bn＝()n－1＝. 所以an＝2n－1，bn＝. (2)因為Sn＝n＝n2， 所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝. 下面比較與Sn＋1的大?。? 當n＝1時，＝，S2＝4，所以S5， 猜想：n≥4時，>Sn＋1. 下面用數學歸納法證明： ①當n＝4時，已證． ②假設當n＝k(k∈N*，k≥4)時>Sk＋1， 即>(k＋1)2， 那么，＝＝3>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 ＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2 ＝S(k＋1)＋1， 所以當n＝k＋1時，>Sn＋1也成立． 由①②可知，對任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立． 綜上所述，當n＝1,2,3時，Sn＋1.