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課時分層作業(yè)(七) 橢圓的幾何性質
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、填空題
1．若橢圓＋＝1(0＜a＜36)的焦距為4，則a＝________.
[解析] ∵0＜a＜36，∴36－a＝22，∴a＝32.
[答案] 32
2．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是________.
【導學號：71392069】
[解析] 方程可化為＋＝1，易知a＝5，b＝3，c＝4，
所以長軸長為10，短軸長為6，離心率為.
[答案] 10,6，
3．已知橢圓＋＝1與橢圓＋＝1有相同的長軸，橢圓＋＝1的短軸長與橢圓＋＝1的短軸長相等，則a2＝________，b2＝________.
[解析] 因為橢圓＋＝1的長軸長為10，焦點在x軸上，橢圓＋＝1的短軸長為6，所以a2＝25，b2＝9.
[答案] 25 9
4．已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．
[解析] 由題意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.
故橢圓方程為＋＝1.
[答案]?。?
5．橢圓＋＝1的離心率為，則實數(shù)m的值為________．
[解析] 當橢圓的焦點在x軸上時，a2＝m，b2＝4，且m＞4，則e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝；
當橢圓的焦點在y軸上時，a2＝4，b2＝m，且0＜m＜4，
則e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝3.
[答案] 3或
6．橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F到過頂點A(－a，0)，B(0，b)的直線的距離等于，則橢圓的離心率為________.
【導學號：71392070】
[解析] 由題意知直線AB的方程為＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.
左焦點為F(－c,0)，則＝.
∴(a－c)＝，
∴7(a－c)2＝a2＋b2＝a2＋a2－c2＝2a2－c2，即5a2－14ac＋8c2＝0，
∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝.
又∵0
b>0)，
得y2＝b2＝，∴y＝.
設P，橢圓的右頂點A(a,0)，上頂點B(0，b)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，
∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝.
又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝，
∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.
10．設直線y＝x＋b與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩個不同的點．
(1)求實數(shù)b的取值范圍；
(2)當b＝1時，求|AB|.
【導學號：71392071】
[解] (1)將y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. ①
因為直線y＝x＋b與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩個不同的點，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范圍為(－，)．
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
當b＝1時，方程①為3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
所以y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
[能力提升練]
1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為______．
[解析] 根據(jù)題意，因為△AF1B的周長為4，所以AF1＋AB＋BF1＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，所以a＝.又因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1.
[答案]?。?
2．若A為橢圓x2＋4y2＝4的右頂點，以A為直角頂點作一個內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，則該三角形的面積為________．
[解析] 由題意得，該三角形的兩直角邊關于x軸對稱，且其中一邊在過點A(2,0)，斜率為1的直線上，且此直線的方程為y＝x－2，代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝.把x＝代入橢圓方程，得y＝，所以三角形的面積S＝＝.
[答案]
3．過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若
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