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1、1反常積分（廣義積分）反常積分（廣義積分）第五節(jié)第五節(jié)一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分四、小結(jié)三、函數(shù)的介紹2定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上連連續(xù)續(xù)，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間), a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散時，稱廣義積分發(fā)散. .一、無窮限的廣義積分無窮限廣義積分無窮限廣義積分adxxf,)(
2、bdxxf,)(,)(dxxf3 bdxxf)( baadxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .類似類似 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim稱積分稱積分時時當右端兩個積分都收斂當右端兩個積分都收斂,dxxf)(;收斂收斂.否則成為發(fā)散否則成為發(fā)散:說明說明 dxxf)(.作中間限也可作中間限也可定義中用任意定義中用任意c41例例dxex0dxebxb0limbxbe0lim)(lim1bbe1幾何意義幾何意義5例例2 2 計算廣義積分計
3、算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 6例例3 3 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 7例例 4 4 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當當1 p時時收收斂斂， 當當1 p時時發(fā)發(fā)散散. 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln
4、x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.8例例 5 5 證證明明廣廣義義積積分分 apxdxe當當0 p時時收收斂斂， 當當0 p時時發(fā)發(fā)散散. 證證 apxdxe bapxbdxelimpepepbpablim 0,0,pppeap即即當當0 p時時收收斂斂，當當0 p時時發(fā)發(fā)散散.96例例dxxx031)(dxxx03111)(dxxx0321111)()(0212111)(xx2110 badxxf)(0lim( )baf x dx當當極極限限存存
5、在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分11當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .12設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點外上除點外 c 連續(xù)，連續(xù)， )(limxfcx, ,如果兩個廣義積分如果兩個廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為為瑕點瑕點，
6、以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.13例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa221lim,xaax ax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點點. axadx0222200limadxax00lim arcsinaxa0lim arcsin0aa.2 14例例 2 2 證明廣義積分證明廣義積分 當當1 q時收斂，時收斂，當當1 q時發(fā)散時發(fā)散. 證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當因此當1 q時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為q 11；當當1 q時廣義
7、積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散. 101dxxqdxxq10115例例3 3 計算廣義積分計算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx210limlndxxx210(ln )limlndxx210lim ln(ln )x0lim ln(ln2)ln(ln(1). 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.16例例4 4 計算廣義積分計算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點瑕點 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx23100lim(1)dxx3 3132)1(xdx23310lim(1)dxx, 233 3032)1(xdx).21(33 175例例dx
8、x10)sin(ln解解dxx1 )sin(ln1 xxlnsindxx1 lncos1lncoslnsinxx1 xdxlnsindxx1 )sin(ln21lnsinlncos21dxx10)sin(ln21lim0186例例04)(xxdx104)(xxdx14)(xxdx102 arctanlimxbbx12arctanlim2 197例例證明證明041xdxdxxx042122 證明證明則則令令,tx1041xdxdttt)(2041111dttt0421dttt0421dxxx04210412xdx041xdxdxxx0421dxxx0421120dxxxx022211102211
9、)()(xxxxd02121xxarctan)(2221 2 041xdx22 dxxx0421218例例dxxxn02111)(dttttntx)()(2021111111dttttnn0211)(dttttnn021111)(dtt0211dtttn02111)(dxxxn02111)(dtt0211214 dtt0211dxxxn02111)(22三、函數(shù)介紹函數(shù)：)0()(01sdxexsxs特點：（1）積分區(qū)間為無窮。（2）當s-10時收斂，且連續(xù)、可導。 函數(shù)的性質(zhì)： (2) 遞推公式：) 0()()1(ssss23事實上，0)1(dxexsxs0 xsdex0 xsex01dse
10、xsxs)(ss當s取正整數(shù)n+1時,)()1(nnn)2() 1(nnn) 1 (!n , 1)1 (0dxex!)1(nn而所以由此可以把函數(shù)看成階乘在正實數(shù)上的推廣.24（3）函數(shù)： )(s另外一種形式:（4）)(s01222dtetts022)21(dtet例例7 計算)25(.43)21(2123)25(解：25無界函數(shù)的廣義積分（無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點）：不能忽略內(nèi)部的瑕點） badxxf)(三、小結(jié)練習與思考題練
11、習與思考題261、積分、積分 的瑕點是哪幾點？的瑕點是哪幾點？ 101lndxxx解答解答積分積分 可能的瑕點是可能的瑕點是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點不是瑕點, 101lndxxx的瑕點是的瑕點是. 0 x272、判斷反常積分11dxx x 的斂散性，解：解：11lim1xxx則這個積分既是無界函數(shù)，又是無窮區(qū)間上的反常積分.若收斂求其值。令ududxuxxu2112111dxx x 2021duuuarctan20228221xxdxududxuxxu2112令：221xxdx1212uduuarctan212)42(221222929,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求)(20 xfxx為與的無窮間斷點,故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan2103、.d)(1)(312xxfxfI解：202d)(1)(xxfxf22732arctan
高等數(shù)學：第五章 第5節(jié)廣義積分
