高等數(shù)學(xué)：第五章 第2節(jié) 定積分的性質(zhì)

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1、1定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié)一、定積分的性質(zhì)三、小結(jié)二、應(yīng)用舉例2對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(.說(shuō)明說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小一、定積分的性質(zhì)3 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)3 3假設(shè)假設(shè)bca badxxf)( bccadx

2、xfdxxf)()(.xyabc)(xfy 4 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.推廣推廣：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 下式總成立下式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則5dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，)(xfy 6例例 1 1 比較積分值比較

3、積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 7性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）8dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)

4、()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說(shuō)明：說(shuō)明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）9設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 610例例 2 2 估估計(jì)計(jì)積積分分dxx 03sin31的

5、的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx11例例 3 3 估估計(jì)計(jì)積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為最最大大點(diǎn)點(diǎn)，2 x為為最最小小點(diǎn)點(diǎn), 12,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx13如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連

6、連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式14在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋?zhuān)悍e分中值公式的幾何解釋?zhuān)簒yoab )( f使使得得

7、以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。15例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 16證明：證明：上不變號(hào)上不變號(hào)在在且且上連續(xù)，上連續(xù)，在在、設(shè)設(shè)例例,)(,)()(baxgba

8、xgxf5dxxgfdxxgxfbaba)()()()( 廣義積分中值定理廣義積分中值定理證明：證明：,)(時(shí)顯然成立時(shí)顯然成立當(dāng)當(dāng)0 xg,)(0 xg不妨設(shè)不妨設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在因?yàn)橐驗(yàn)閎axf由最值定理知由最值定理知,)(Mxfmbadxxgxf)()(badxxgM)(dxxgmba)(ba17Mdxxgdxxgxfmbaba)()()(,ba 在在由界值定理知，至少存由界值定理知，至少存babadxxgdxxgxff)()()()( 使使dxxgfdxxgxfbaba)()()()( 就是積分中值定理就是積分中值定理時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)(1xg18（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（

9、注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）2典型問(wèn)題典型問(wèn)題（）估計(jì)積分值；（）估計(jì)積分值；（）不計(jì)算定積分比較積分大?。ǎ┎挥?jì)算定積分比較積分大小1定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)總總 結(jié)結(jié)19練習(xí)題練習(xí)題191、估計(jì)定積分112dxex的值解：解：先求被積函數(shù)2)(xexf在積分區(qū)間11，上的最值。02)2（xxexf令得駐點(diǎn)0 x比較)(xf在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：eefef11(1)0(10）可見(jiàn)，2)(xexf在11，上11Mem 22112dxeex即206例例且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè),)(,)(0 xfbaxf.)(,)(00 xfbadxxfba上上證明在證明在:證明證明反證法反證法,)(0 xf如果如果,)(,000 xfbax使使則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn),)(00 mxf不妨假設(shè)不妨假設(shè),)(點(diǎn)的連續(xù)性點(diǎn)的連續(xù)性在在由由0 xxf),()(bax 01當(dāng)當(dāng)),(000 xxx 的鄰域則存在,2)(mxf使得在此鄰域有dxxfdxxfdxxfdxxfbxxxxaba 0000)()()()(0 m.矛盾矛盾21,)(axx002不妨設(shè)不妨設(shè)為邊界為邊界當(dāng)當(dāng)),(aaa的右半鄰域則存在,2)(mxf使得在此鄰域有dxxfdxxfdxxfbaaaba )()()(xdxfaa )(xdmaa 202m .矛盾矛盾.)(,0 xfba上上在在