高中數(shù)學 4_4 參數(shù)方程 11 直線的參數(shù)方程的應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4
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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.4 參數(shù)方程 11 直線的參數(shù)方程的應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時:45分鐘) 學業(yè)達標] 1.已知直線l經過點P(1,-3),傾斜角為,求直線l與直線l′:y=x-2的交點Q與點P的距離|PQ|. 【解】 ∵l過點P(1,-3),傾斜角為, ∴l(xiāng)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)). 代入y=x-2,得-3+t=1+t-2, 解得t=4+2, 即t=2+4為直線l與l′的交點Q所對應的參數(shù)值,根據(jù)參數(shù)t的幾何意義,可知|t|=PQ,∴PQ=4+2. 2.求直線(t為參數(shù))被圓x2+y2=9截得的弦長. 【解】 將代入圓的方程x2+y2=9,得5t2+8t-4=0,t1+t2=-,t1t2=-. |t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=+=, 所以弦長=|t1-t2|==. 3.已知橢圓+=1和點P(2,1),過P作橢圓的弦,并使點P為弦的中點,求弦所在的直線方程. 【解】 設弦所在直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入橢圓方程+=1,得(cos2α+4sin2α)t2+4(cosα+2sin α)t-8=0,所以t1+t2=-,因為P是弦的中點,所以t1+t2=0, 即-=0,所以cos α+2sin α=0,tan α=-.又P(2,1)在橢圓內,所以弦所在的直線方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 4.過拋物線y2=2px(p>0)的頂點作兩條互相垂直的弦OA,OB,求線段AB中點M的軌跡的普通方程. 【解】 由題意知,兩弦所在直線的斜率存在且不為0,所以設直線OA的方程為y=kx, 則OB的方程為y=-x,解得或所以A點坐標為(,).同理可求得B點坐標為(2pk2,-2pk).設AB中點M的坐標為(x,y), 則消去k得y2=px-2p2.所以點M的軌跡方程為y2=px-2p2. 5.(湖南高考改編)在直角坐標系xOy中,已知曲線C1:(t為參數(shù))與曲線C2:(θ為參數(shù),a>0)有一個公共點在x軸上,試求a的值. 【導學號:98990034】 【解】 ∵消去參數(shù)t得2x+y-3=0. 又消去參數(shù)θ得+=1. 方程2x+y-3=0中,令y=0得x=,將(,0)代入+=1,得=1.又a>0,∴a=. 6.已知直線l經過點P(1,0),傾斜角為α=. (1)寫出直線l的參數(shù)方程; (2)設直線l與橢圓x2+4y2=4相交于兩點A、B,求點P到A、B兩點的距離之積. 【解】 (1)直線l的參數(shù)方程為 即(t為參數(shù)). (2)聯(lián)立直線與圓的方程得 (1+t)2+4()2=4,∴t2+t-3=0, 所以t1t2=-,即|t1||t2|=. 所以P到A、B兩點的距離之積為. 7.已知拋物線y2=8x的焦點為F,過F且斜率為2的直線交拋物線于A、B兩點. (1)求AB;(2)求AB的中點M的坐標及FM. 【解】 拋物線y2=8x的焦點為F(2,0), 依題意,設直線AB的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)), 其中tan α=2,cos α=,sin α=,α為直線AB的傾斜角,代入y2=8x整理得t2-2t-20=0. 則t1+t2=2,t1t2=-20. (1)AB=|t2-t1|= ==10. (2)由于AB的中點為M, 故點M對應的參數(shù)為=, ∴M(3,2),F(xiàn)M=||=. 能力提升] 8.如圖446所示,已知直線l過點P(2,0),斜率為,直線l和拋物線y2=2x相交于A,B兩點,設線段AB的中點為M,求: 圖446 (1)P,M間的距離PM; (2)點M的坐標; (3)線段AB的長. 【解】 (1)∵直線l過點P(2,0),斜率為,設直線l的傾斜角為α,則 tan α=,cos α=,sin α=, ∴直線l的參數(shù)方程的標準形式為 (t為參數(shù)).(*) ∵直線l和拋物線相交,∴將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=2x中, 整理得 8t2-15t-50=0,Δ=152+4850>0. 設這個二次方程的兩個根為t1,t2,由根與系數(shù)的關系得t1+t2=,t1t2=-. 由M為線段AB的中點,根據(jù)t的幾何意義,得 PM==. (2)因為中點M所對應的參數(shù)為tM=, 將此值代入直線l的參數(shù)方程的標準形式(*), 得 即M(,). (3)AB=|t1-t2|= =.- 配套講稿:
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