自動(dòng)控制原理與系統(tǒng)課件第四章控制系統(tǒng)的頻率特性.ppt

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1,第四章控制系統(tǒng)的頻率特性分析,2,4.1頻率特性的基本概念,一、頻率特性的定義,系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性稱為頻率特性。,采用正弦信號(hào)作為輸入信號(hào)，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，其輸出稱頻率響應(yīng)。,3,幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性，用G(jω)表示,,系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出量與輸入量幅值之比為幅值頻率特性，簡稱幅頻特性，它隨角頻率ω變化，常用M(ω)表示。,輸出量與輸入量的相位差為相位頻率特性，簡稱相頻特性，它也隨角頻率ω變化，常用φ(ω)表示，,4,,頻率特性就是線性系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))在正弦輸入信號(hào)作用下穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出相量與輸入相量之比。,幅頻特性是輸出量與輸入量幅值之比M(ω),描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大（或衰減）特性。相頻特性是輸出穩(wěn)態(tài)相對(duì)于正弦輸入信號(hào)的相位差φ(ω),描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出時(shí)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)在相位上產(chǎn)生的相角遲后（或超前）的特性。,5,二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時(shí)，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時(shí)的G（s），即復(fù)域與頻域的關(guān)系為：,,,,6,,三、頻率特性的表示方法,圖4-2,,,1、數(shù)學(xué)式表示法,7,例4-1寫出慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性和頻率特性。,解：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,其頻率特性為,幅頻特性為,相頻特性為,8,2、圖形表示法,1）極坐標(biāo)圖（又稱奈奎斯特圖）,當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)式G(jω)=A(ω)∠ψ(ω)，可以算出每一個(gè)ω值所對(duì)應(yīng)的A(ω)和φ(ω)，將它們畫在極坐標(biāo)平面圖上，就得到了頻率特性的極坐標(biāo)圖。,2）對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）,定義：L(ω)=20lgA(ω)——對(duì)數(shù)幅頻特性ψ(ω)=∠G(jω)——對(duì)數(shù)相頻特性,對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）,對(duì)數(shù)相頻特性曲線,圖4-3,橫坐標(biāo)表示頻率ω，單位為rad/s。按對(duì)數(shù)分度，即以㏒ω標(biāo)注刻度。但為方便讀數(shù)，橫軸標(biāo)注ω本身的數(shù)值，所以橫坐標(biāo)的刻度是不均勻的。角頻率ω變化10倍，在橫坐標(biāo)上距離的變化為一個(gè)單位，即lg10=1，稱為一個(gè)“10倍頻程”，記為dec。零頻（ω=0）不可能在橫坐標(biāo)上表達(dá)出來。橫坐標(biāo)的最低頻率，一般以我們感興趣的頻率范圍來決定。,10,4.2典型環(huán)節(jié)的Bode圖,一、比例環(huán)節(jié),,傳遞函數(shù)：,,頻率特性：,對(duì)數(shù)頻率特性：,比例環(huán)節(jié)放大倍數(shù)K變化，系統(tǒng)的L(ω)上下平移，但φ(ω)不變。,Bode圖：,對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)為水平直線，其高度為20lgK。對(duì)數(shù)相頻特性φ(ω)為與橫軸重合的水平直線。如圖4-4所示。,,,圖4-4,11,二、積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對(duì)數(shù)頻率特性：,Bode圖：,對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)過點(diǎn)（1，0）、斜率為-20dB/dec的一條直線。對(duì)數(shù)相頻特性φ(ω)為一條-90o的水平直線。,,,,圖4-5,1,,,,1,,12,三、理想微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對(duì)數(shù)頻率特性：,Bode圖：,對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)為過點(diǎn)（1/τ，0）、斜率為20dB/dec的一條直線。對(duì)數(shù)相頻特性φ(ω)φ(ω)為一條90o的水平直線。如圖4-6所示。,,,,圖4-6,13,四、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對(duì)數(shù)頻率特性：,Bode圖：,,,,對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)是一條曲線,逐點(diǎn)描繪很煩瑣,通常采用近似的繪制方法,用兩條漸進(jìn)線近似表示.,,低頻漸近線：,,高頻漸近線：,低頻漸近線為零分貝線。,14,修正量：最大誤差發(fā)生在交接頻率ω=1/T處，該處的實(shí)際值為,,圖4-7,1/T,高頻漸近線為一條在ω=1/T處穿越橫軸、且斜率為-20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可近似地用上述兩條直線表示，且它們相交于ω=1/T（轉(zhuǎn)折頻率）處。由這兩條直線構(gòu)成的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線稱為漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。,-,15,對(duì)數(shù)相頻特性,,低頻：當(dāng)ω→0時(shí)，φ(ω)→0。高頻：當(dāng)ω→∞時(shí)，φ(ω)→-90o。轉(zhuǎn)折頻率處的相位：當(dāng)ω=1/T時(shí)，φ(ω)=-arctan1=-45o。,圖4-7,1/T,16,五、比例微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對(duì)數(shù)頻率特性：,Bode圖：,因?yàn)槠鋵?duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性與慣性環(huán)節(jié)只相差一個(gè)符號(hào)，所以只要把慣性環(huán)節(jié)的Bode圖向上翻轉(zhuǎn)一下即可。如圖4－8,,,,,圖4－8,17,1.傳遞函數(shù)2.頻率特性3.對(duì)數(shù)頻率特性4．Bode圖,六、振蕩環(huán)節(jié),18,（1）對(duì)數(shù)幅頻特性當(dāng)時(shí)，,即低頻區(qū)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為與橫軸重合的直線；當(dāng)時(shí),，即高頻區(qū),對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為一條在ω=1/τ處穿越橫軸、且斜率為-40dB/dec的直線。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可近似用上述兩條直線表示（漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線），且它們相交于ω=1/τ處。ω=1/τ處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是無阻尼自然角頻率ωn。,19,當(dāng)ω=1/T=ωn，漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與實(shí)際曲線的誤差為：振蕩環(huán)節(jié)漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與實(shí)際曲線的誤差與ω和ζ有關(guān)。對(duì)于不同ζ值，上述誤差值列于下表。,計(jì)算表明，在ω=ωn處，當(dāng)0.4＜ξ＜0.7時(shí)，誤差小于3dB，可以不對(duì)漸近線進(jìn)行修正；但當(dāng)ξ＜0.4或ξ＞0.7時(shí)，誤差較大，必須對(duì)漸近線進(jìn)行修正。,20,對(duì)數(shù)相頻特性φ(ω)低頻：當(dāng)ω→0時(shí)，φ(ω)→0。因此，低頻段為一條φ(ω)→0的水平線。高頻：當(dāng)ω→∞時(shí)，φ(ω)→-180o。因此，高頻段一條φ(ω)→-180o的水平線。交接頻率處的相位：當(dāng)ω=ωn時(shí)，φ(ω)=-90o。,21,振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性既是ω的函數(shù)，又是ζ的函數(shù)。隨阻尼比ζ不同，對(duì)數(shù)相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度也不同。ζ越小，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度越大，而在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折頻率處的變化速度越小。T改變時(shí)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動(dòng)。與此同時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性及對(duì)數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動(dòng)，但它們的形狀保持不變。,22,4.3控制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制,一、系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)其對(duì)應(yīng)的開環(huán)頻率特性為G(jω)=G1(jω)G2(jω)G3(jω)其對(duì)應(yīng)的開環(huán)幅頻特性為L(ω)=20lg〔A1(ω)A2(ω)A3(ω)〕=20lgA1(ω)+20lgA2(ω)+20lgA3(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)其對(duì)應(yīng)的開環(huán)相頻特性為φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φ3(ω)由此可見，串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的和，其總的對(duì)數(shù)相頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性的和。,23,繪制控制系統(tǒng)Bode圖的一般步驟為：1）將控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積，整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。2）計(jì)算出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，將它們按由小到大的次序排列。3）選定Bode圖頻率范圍。一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。4)在對(duì)數(shù)幅頻特性圖上，找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20νdB/dec的斜線。其中ν為系統(tǒng)中理想積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，直到第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1。如果ω1＜1，則該直線延長線經(jīng)過（1，20lgK）點(diǎn)。5）在對(duì)數(shù)幅頻特性圖上，按下述原則依次改變系統(tǒng)L（ω）的斜率：若過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去20dB/dec；若過比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上20dB/dec；若過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率減去40dB/dec；若過二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率加上40dB/dec；,24,6）如有必要，可對(duì)對(duì)數(shù)漸進(jìn)幅頻特性進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性。7）在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線（慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線用模型板畫更方便）。將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。,,,25,解：1）分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式。,2）由小到大書寫轉(zhuǎn)折頻率。,,,3)選定坐標(biāo)軸的比例尺及頻率范圍（即取坐標(biāo)）。一般取最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。,26,4）計(jì)算20lgK,找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為L(ω)=20lgK=20lg10=20dB的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec=-20dB/dec的直線至ωc1點(diǎn)，其中v為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。本例中v=1。5）每過轉(zhuǎn)折頻率ωc，斜率按下列原則變：若過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加〔-20〕；若過比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加〔+20〕；若過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加〔-40〕。6）如果需要，可對(duì)漸進(jìn)線進(jìn)行修正，以獲得較為精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。最后得到開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖4-10所示。,27,對(duì)數(shù)相頻特性曲線φ(ω)的繪制步驟：畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，把它們按頻率逐點(diǎn)相加，即可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。如圖4-10所示。,28,29,二、最小相位系統(tǒng),若傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在s復(fù)平面的左側(cè)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。若傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和(或)零點(diǎn)有在s復(fù)平面右側(cè)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。,,傳遞函數(shù)的分子、分母中無正實(shí)根且無延遲環(huán)節(jié)時(shí)，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的，知道對(duì)數(shù)幅頻特性，也就知道其對(duì)數(shù)相頻特性。因此,對(duì)于最小相位系統(tǒng),只要根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性就能寫出其傳遞函數(shù)。利用Bode圖對(duì)最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，往往只分析對(duì)數(shù)幅頻特性。,30,三、由對(duì)數(shù)頻率特性求相應(yīng)的傳遞函數(shù),例4-3求如圖4-11所示環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,,圖4-11,31,解：1）由圖4-11a低頻段的斜率為-20dB/dec，可推知該系統(tǒng)含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為G(s)=K/s由于ω=1時(shí)，L(ω)=20lgK。又由圖可知：ω=ω1時(shí)，L(ω)=0dB，所以,,由此可得K=ω1=10,G(s)=10/s,32,2）圖4-11b可見，其低頻段為一水平直線，所以它不含積分環(huán)節(jié)（即v=0）；又由于低頻段的高度為L1(ω)，即20lgK=0，可求得K=1。由過點(diǎn)ω1斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T1s+1）,式中T1=1/ω1。由過點(diǎn)ω2斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T2s+1）,式中T2=1/ω2。綜上所述，可得此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,,3）由圖4-11c可知，其低頻段為一水平直線，所以它不含積分環(huán)節(jié)（即v=0）；又由于低頻段的高度為L1(ω)，即20lgK=L1(ω)，可求得K。由過點(diǎn)ω1斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T1s+1）,式中T1=1/ω1。,33,由過點(diǎn)ω2斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T2s+1）,式中T2=1/ω2。由過點(diǎn)ω3斜率增加20dB/dec知，含一比例微分環(huán)節(jié)（T3s+1）,式中T3=1/ω2。由過點(diǎn)ω4斜率增加-20dB/dec知，含一慣性環(huán)節(jié)1/（T4s+1）,式中T4=1/ω4。綜上所述，可得此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,,由上例可歸納出由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則：①由低頻段的斜率，可推知所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，由低頻段在ω=1處的高度L(ω)=20lgK[或由低頻段斜線（或其延長線）與零分貝線交點(diǎn)]來求得增益K.②由低頻→高頻，斜率每增加一個(gè)+20dB/dec，即含一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)；斜率每增加一個(gè)-20dB/dec，即含一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；斜率每增加一個(gè)-40dB/dec，即含一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比ζ。,34,4.4控制系統(tǒng)性能的頻域分析,一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù),,對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是建立在Nyquist圖基礎(chǔ)之上的，因而又稱為Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。作Nyquist圖較麻煩，所以工程上一般都是采用系統(tǒng)的開環(huán)波德圖來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)實(shí)際上是Nyquist判據(jù)在波德圖上的應(yīng)用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對(duì)穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,35,1．對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),1）對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容：若系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)L(ω)線過0dB線時(shí)，對(duì)應(yīng)的φ(ω)在-180o線的上方；或當(dāng)φ(ω)=-180o時(shí)，對(duì)應(yīng)的L(ω)在0dB線下方。,,36,,2）穩(wěn)定裕量設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)在絕對(duì)穩(wěn)定的前提下，保證一定的相對(duì)穩(wěn)定性。穩(wěn)定裕量表征系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定的程度，也就是系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。穩(wěn)定裕量通常用相位裕量和增益裕量來表示。,37,定義：,顯然，γ>0，穩(wěn)定，γ越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越好γ=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定γ<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定,,,①相位裕量γ：當(dāng)L(ω)=0dB時(shí)，對(duì)應(yīng)的φ(ω)高于-180o線多少。其中，L(ω)線穿0dB線時(shí)的頻率，叫幅值穿越頻率，用ωc表示。,c,38,顯然，Kg＞0，系統(tǒng)穩(wěn)定，Kg越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越好Kg=0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定Kg<0，系統(tǒng)不穩(wěn)定為了確保系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，要求系統(tǒng)應(yīng)具有40～45的相位裕量和6～10dB的增益裕量。,定義：,,,②增益裕量Kg：當(dāng)φ(ω)=-180o時(shí)，對(duì)應(yīng)的L(ω)低于0dB線多少。其中，φ(ω)=-180o時(shí)的頻率，叫相位穿越頻率，用ωg表示。,g,39,Bode圖中的中頻段:指L(ω)的漸進(jìn)線穿越0dB線附近頻率的一段區(qū)段，也就是幅值穿越頻率ωc附近的一段區(qū)段。1．相位裕量γ——反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性γ越大，σ%越小，相對(duì)穩(wěn)定性越好。2．幅值穿越頻率ωc——反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的響應(yīng)速度和變化的快慢ωc越大，ts越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快。因此,系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的中頻段表征著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.,二、開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系,40,Bode圖中的低頻段是指L(ω)的漸進(jìn)線在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段，也就是最左邊的區(qū)段。L(ω)低頻段（漸進(jìn)線）的斜率代表著系統(tǒng)的型別：若L(ω)低頻段（漸進(jìn)線）的斜率為0dB/dec（水平線），則v=0，為0型系統(tǒng)。若L(ω)低頻段（漸進(jìn)線）的斜率為-20dB/dec，則v=1，為I型系統(tǒng)。若L(ω)低頻段（漸進(jìn)線）的斜率為-40dB/dec，則v=2，為II型系統(tǒng)。L(ω)在ω=1的高度為20lgK代表系統(tǒng)的增益K。綜上所述，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)低頻段曲線的斜率愈陡，L(ω)在ω=1的高度愈高，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將愈小，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度愈好。,,41,高頻段是指開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在中頻段以后的一段區(qū)域。由于L（ω）＜＜0所以有│G（jω）│＜＜1單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為表明在高頻段系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性與開環(huán)幅頻特性近似相等。開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線高頻段反映輸出與輸入幅值之比,高頻段的分貝值越低，其輸出與輸入幅值之比越小，說明系統(tǒng)對(duì)高頻輸入信號(hào)抑制能力越強(qiáng)。,42,