2019高考數(shù)學(xué)全冊精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點(diǎn)十九 幾何概型
1.長度類幾何概型
例1:已知函數(shù),,在定義域內(nèi)任取一點(diǎn),使的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先解出時(shí)的取值范圍:,
從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率,
∴,故選C.
2.面積類幾何概型
(1)圖形類幾何概型
例2-1:如圖所示,在矩形中,,,圖中陰影部分是以為直徑的半圓,現(xiàn)在向矩形內(nèi)隨機(jī)撒4000粒豆子(豆子的大小忽略不計(jì)),根據(jù)你所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識,下列四個(gè)選項(xiàng)中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是( )
A.1000 B.2000 C.3000 D.4000
【答案】C
【解析】在矩形中,,,面積為,半圓的面積為,
故由幾何概型可知,半圓所占比例為,隨機(jī)撒4000粒豆子,
落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目大約為3000,故選C.
(2)線性規(guī)劃類幾何概型
例2-2:甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位???小時(shí),假定他們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為,乙船到達(dá)的時(shí)間為,
則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω滿足,
這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿足,作出對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:
這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為,
故選D.
3.體積類幾何概型
例3:一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示,是的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔,由它飛入幾何體內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值.
由三視圖可得,且,,兩兩垂直,
可得,
棱錐體積,而,
∴.從而.故選D.
對點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、單選題
1.如圖,邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為.則陰影區(qū)域的面積約為( )
A. B. C. D.無法計(jì)算
【答案】C
【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為,,∴.故選C.
2.某景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi),每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車,某人上午到達(dá)景區(qū)入口,準(zhǔn)備乘坐觀光車,則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意,此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá),等待時(shí)間不多于10分鐘,
∴概率.故選B.
3.一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】滿足條件的正三角形如圖所示:
其中正三角形的面積
滿足到正三角形的頂點(diǎn),,的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
則,則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn),,的距離都大于2的概率為:
.故選A.
4.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù),,記為事件的概率,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖所示,,表示的平面區(qū)域?yàn)椋?
平面區(qū)域內(nèi)滿足的部分為陰影部分的區(qū)域,其中,,
結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為,故選D.
5.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),的值介于0到之間的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,得,或,
∴或,
記的值介于0到之間,
則構(gòu)成事件的區(qū)域長度為;全部結(jié)果的區(qū)域長度為2;
∴,故選A.
6.點(diǎn)在邊長為1的正方形內(nèi)運(yùn)動,則動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】滿足條件的正方形,如圖所示:
其中滿足動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
則正方形的面積,陰影部分的面積.
故動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率.故選C.
7.已知實(shí)數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率為 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)實(shí)數(shù),經(jīng)過第一次循環(huán)得到,;
經(jīng)過第二次循環(huán)得到,;
經(jīng)過第三次循環(huán)得到,,此時(shí)輸出,
輸出的值為,
令得,
由幾何概型概率得到輸出的不小于103的概率為,故選B.
8.《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有勾五步,股一十二步,問勾中容圓,徑幾何?”其大意:“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子,
則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直角三角形的斜邊長為,
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,則,解得,∴內(nèi)切圓的面積為,
∴豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是,故選C.
9.把不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)記為,則函數(shù)稱作取整函數(shù),又叫高斯函數(shù),在上任取,則的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),則,滿足;
當(dāng)時(shí),,,則,滿足;
當(dāng)時(shí),,,則不滿足;
當(dāng)時(shí),,,則,不滿足.
綜上,滿足的,則的概率為,故選D.
10.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法,如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值:先請120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè),都小于1的正實(shí)數(shù)對,再統(tǒng)計(jì)其中x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù),最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)估計(jì)的值.如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是,那么可以估計(jì)的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由題意,120對都小于1的正實(shí)數(shù),滿足,面積為1,
兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對,
滿足且,面積為,
∵統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù)為,
則,∴,故選B.
11.為了節(jié)省材料,某市下水道井蓋的形狀如圖1所示,其外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心,正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形,這個(gè)曲邊三角形稱作“菜洛三角形”.現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內(nèi),則彈珠恰好落在三角形內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】彈珠落在萊洛三角形內(nèi)的每一個(gè)位置是等可能的,
由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率:
,
(為萊洛三角形的面積),故選A.
12.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,.的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,II,III的概率分別記為,,,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè),,,則有,
從而可以求得的面積為,
黑色部分的面積為
,
其余部分的面積為,∴有,
根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到,故選A.
二、填空題
13.在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是___________.
【答案】
【解析】∵函數(shù)在上為減函數(shù),
∴,,因此所求概率為.
14.記集合,集合表示的平面區(qū)域分別為,.若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域中的概率為__________.
【答案】
【解析】畫出表示的區(qū)域,即圖中以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓;
集合表示的區(qū)域,即圖中的陰影部分.
由題意可得,,
根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為.
15.任取兩個(gè)小于1的正數(shù)、,若、、1能作為三角形的三條邊長,則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率是________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可得,三邊可以構(gòu)成三角形的條件為:.
這三個(gè)邊正好是鈍角三角形的三個(gè)邊,應(yīng)滿足以下條件:,
對應(yīng)的區(qū)域如圖,
由圓面積的為,直線和區(qū)域圍成的三角形面積是,
則、、1能作為三角形的三條邊長,
則它們能構(gòu)成鈍角三角形三條邊長的概率.故答案為.
16.父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購買了一雙運(yùn)動鞋,就在父親節(jié)的當(dāng)天,快遞公司給小明打電話話說鞋子已經(jīng)到達(dá)快遞公司了,馬上可以送到小明家,到達(dá)時(shí)間為晚上6點(diǎn)到7點(diǎn)之間,小明的爸爸晚上5點(diǎn)下班之后需要坐公共汽車回家,到家的時(shí)間在晚上5點(diǎn)半到6點(diǎn)半之間.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快遞員把鞋子送到小明家的時(shí)候,會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中)為__________.
【答案】
【解析】設(shè)爸爸到家時(shí)間為,快遞員到達(dá)時(shí)間為,
以橫坐標(biāo)表示爸爸到家時(shí)間,以縱坐標(biāo)表示快遞送達(dá)時(shí)間,建立平面直角坐標(biāo)系,
爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構(gòu)成區(qū)域如下圖:
根據(jù)題意,所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?,面積,
爸爸到家之后就能收到鞋子的事件,構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋?
直線與直線和交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,
由幾何概型概率公式可得,爸爸到家之后就能收到鞋子的概率:.
故答案為.
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