2019高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點(diǎn)十四 外接球
1.正棱柱,長(zhǎng)方體的外接球球心是其中心
例1:已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為,體積為,則這個(gè)球的表面積是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,,,故選C.
2.補(bǔ)形法(補(bǔ)成長(zhǎng)方體)
例2:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)均為,則其外接球的表面積是 .
【答案】
【解析】,.
3.依據(jù)垂直關(guān)系找球心
例3:已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,底面滿(mǎn)足,,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)槭堑妊苯侨切?,所以外接球的半徑是,設(shè)外接球的半徑是,球心到該底面的距離,如圖,則,,由題設(shè),
最大體積對(duì)應(yīng)的高為,故,即,解之得,
所以外接球的體積是,故答案為D.
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、單選題
1.棱長(zhǎng)分別為2、、的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為,由題意可知:,則:,該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為.本題選擇B選項(xiàng).
2.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為( )
A.12π B.28π C.44π D.60π
【答案】B
【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為,由正弦定理可得:,則,
設(shè)外接球半徑為,結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑,
外接球的表面積.本題選擇B選項(xiàng).
3.把邊長(zhǎng)為3的正方形沿對(duì)角線對(duì)折,使得平面平面,則三棱錐的外接
球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把邊長(zhǎng)為3的正方形沿對(duì)角線對(duì)折,使得平面平面,
則三棱錐的外接球直徑為,外接球的表面積為,故選C.
4.某幾何體是由兩個(gè)同底面的三棱錐組成,其三視圖如下圖所示,則該幾何體外接球的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可知,該幾何體是由同底面不同棱的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成,其中底面是棱長(zhǎng)為的正三角形,一個(gè)是三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐,另一個(gè)是棱長(zhǎng)為的正四面體,如圖所示:
該幾何體的外接球與棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球相同,因此外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線,所以,所以該幾何體外接球面積,故選C.
5.三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上,平面,,,則球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?,,所以,?
因此三角形外接圓半徑為,
設(shè)外接球半徑為,則,,故選D.
6.如圖是邊長(zhǎng)為1的正方體,是高為1的正四棱錐,若點(diǎn),,,,在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖所示,連結(jié),,交點(diǎn)為,連結(jié),
易知球心在直線上,設(shè)球的半徑,在中,由勾股定理有:,即:,解得:,則該球的表面積.本題選擇D選項(xiàng).
7.已知球的半徑為,,,三點(diǎn)在球的球面上,球心到平面的距離為,,,則球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得:,
設(shè)三角外接圓半徑為,由正弦定理可得:,則,
又,解得:,則球的表面積.本題選擇D選項(xiàng).
8.已知正四棱錐(底面四邊形是正方形,頂點(diǎn)P在底面的射影是底面的中心)的各頂點(diǎn)都在同一球面上,底面正方形的邊長(zhǎng)為,若該正四棱錐的體積為,則此球的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
如圖,設(shè)正方形的中點(diǎn)為,正四棱錐的外接球心為,
底面正方形的邊長(zhǎng)為,,
正四棱錐的體積為,,
則,,
在中由勾股定理可得:,解得,,故選C.
9.如圖,在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),將沿折起到的位置,使,連接,得到三棱錐.若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,
則該球的表面積是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長(zhǎng)為的正三角形,且平面,
設(shè)三棱錐外接球的球心為,
外接圓的圓心為,則面,∴四邊形為直角梯形,
由,,及,得,∴外接球半徑為,
∴該球的表面積.故選A.
10.四面體中,,,,則此四面體外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由題意,中,,,可知是等邊三角形,,
∴的外接圓半徑,,
∵,可得,可得,∴,∴,
∴四面體高為.
設(shè)外接球,為球心,,可得:……①,
……②
由①②解得:.四面體外接球的表面積:.故選A.
11.將邊長(zhǎng)為2的正沿著高折起,使,若折起后四點(diǎn)都在球的表面上,則球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中,,,,
底面三角形的底面外接圓圓心為,半徑為,由余弦定理得到,再由正弦定理得到,
見(jiàn)圖示:
是球的弦,,將底面的圓心平行于豎直向上提起,提起到的高度的一半,即為球心的位置,∴,在直角三角形中,應(yīng)用勾股定理得到,即為球的半徑.
∴球的半徑.該球的表面積為;故選B.
12.在三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分別取,的中點(diǎn),,連接相應(yīng)的線段,,,
由條件,,,可知,與,都是等腰三角形,
平面,∴,同理,∴是與的公垂線,
球心在上,推導(dǎo)出,可以證明為中點(diǎn),
,,,
∴,球半徑,∴外接球的表面積為.
故選D.
二、填空題
13.棱長(zhǎng)均為6的直三棱柱的外接球的表面積是_________.
【答案】
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為,
則外接球的半徑,
則外接球的表面積為.
14.已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為,則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為,則,解得.
于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖的內(nèi)切圓,
其中,.∴.
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,由,得,即,
解得,
∴內(nèi)切球的表面積為.
15.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體積為,,,,則此球的表面積等于______.
【答案】
【解析】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,棱柱的體積為,,,,,,
,,
設(shè)外接圓的半徑為,則,,
∴外接球的半徑為,∴球的表面積等于.故答案為.
16.在三棱錐中,,,,,則三棱錐外接球的體積的最小值為_(kāi)____.
【答案】
【解析】如圖所示,三棱錐的外接圓即為長(zhǎng)方體的外接圓,外接圓的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,
設(shè),那么,,所以.由題意,體積的最小值即為
最小,,所以當(dāng)時(shí),的最小值為,所以半徑為,
故體積的最小值為.
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