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通過優(yōu)化柔性橢球體對欠驅(qū)動冗余度機械臂的自重構(gòu)
摘要:根據(jù)優(yōu)化技術(shù),欠驅(qū)動冗余度機械臂的多模型特征、柔性操作的測量、自重構(gòu)的控制方法已被調(diào)查研究。分析了空間關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)變形和欠驅(qū)動冗余度機械臂柔性操作之間的關(guān)系,處于鎖定模式下欠驅(qū)動冗余度機械臂的一種新型柔性橢球體操作的測量被提出,能應(yīng)用于獲得自重構(gòu)控制的最理想結(jié)構(gòu)。因此,基于簡諧振動隨時間變化非線性控制方法認為能完成其自重構(gòu)。被動關(guān)節(jié)三連桿欠驅(qū)動機械臂等仿真例子在一些調(diào)查方面起重要作用。
關(guān)鍵詞: 欠驅(qū)動機械臂 自重構(gòu) 優(yōu)化 非線性控制
0 前言
欠驅(qū)動裝置和機械臂能應(yīng)用于許多領(lǐng)域,例如太空技術(shù)、合作機械人、變形裝置。在太空領(lǐng)域里,由于沒有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構(gòu)。當驅(qū)動構(gòu)件出現(xiàn)一些問題時,基于欠驅(qū)動技術(shù)的誤差出現(xiàn)是不可避免的。欠驅(qū)動機械臂也能被設(shè)計為合作機器人,也就是說COBOT。COBOT 的驅(qū)動不是作驅(qū)動裝置而是提供動力學(xué)非函數(shù)約束。COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準確的應(yīng)用,例如在生物工程學(xué)上外科手術(shù)和半導(dǎo)體制造等等。在機械領(lǐng)域機械變形有多種模態(tài),并能從一種模態(tài)向另一種模態(tài)轉(zhuǎn)變。引用不同模態(tài)之間的改變可能導(dǎo)致連桿數(shù)目的變化或機械變形的約束限制。很顯然,欠驅(qū)動控制、冗余度驅(qū)動和柔性裝置是不可避免的。因此,欠驅(qū)動系統(tǒng)逐漸的成為研究領(lǐng)域一個具有吸引力的話題。
從力學(xué)角度看,研究欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)是不可能控制的。被動關(guān)節(jié)的運動是必須靠與動力裝置連接。Jain等表明動力裝置是欠驅(qū)動機械臂的非完整性約束是二階的。在機械實際上,與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史,然而,關(guān)于這種系統(tǒng)的運動規(guī)劃和控制技術(shù)的研究只是近10的事情,研究多針對輪式移動機器人、跳躍機器人、航空航天機器人等一階非完整性約束系統(tǒng)。關(guān)于欠驅(qū)動機械臂的研究觀點,Anthoney等研究運動的穩(wěn)定性,Arai 等提出隨時間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制。Lee 等為欠驅(qū)動機器人提供了多種非線性控制方法。欠驅(qū)動研究的這些方法已從本質(zhì)上揭示了它是非線性的,并且是隨時間變化的、抽象的。事實上,Brockett 已證實這并沒有消除阻礙和穩(wěn)定給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜電狀況反饋。很顯然,非線性系統(tǒng)的特征在組合空間多自由度是可以控制的。所以,非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關(guān)注。
欠驅(qū)動機構(gòu)和機械臂是對傳統(tǒng)機械設(shè)計基本原理相違背的,傳動機械設(shè)計基本原理認為,原動件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時,機構(gòu)才具有確定的運動。欠驅(qū)動機械臂首先被提出并不是由于它的價值優(yōu)點,但一些研究表明,欠驅(qū)動機構(gòu)的故意設(shè)計也是很有價值的。例如,Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動機械臂多維受力的測量。Nakamura 等設(shè)計出了輪式滾動接觸的非完整機器人和平面四連桿二驅(qū)動機械臂的控制。He 等針對欠驅(qū)動冗余度機械臂提出一種自由碰撞運動規(guī)劃演算法。從以上討論的結(jié)果來看,我們可推斷出在研究欠驅(qū)動時,可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問題,如所提到的技術(shù)和理論的形成。因此,我們改善這裝置具有很大的潛能性。
這篇論文中,我們對欠驅(qū)動機械臂的靜態(tài)特征和自重構(gòu)控制方法進行探索與研究。
1 柔性橢球體模型
機械硬度是機械臂的一個重要要素,它是用來抵抗受力和阻礙力的能力。對于開式鏈接機械臂而言,鏈接部分是非常重要的部分。所以末端位姿的變形將會對連桿帶來不良影響。轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程:
i=1,2,…,n (1)
式中 ——關(guān)節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩
——關(guān)節(jié) i 的變形量
——關(guān)節(jié) i 的硬度系數(shù)
如果忽略關(guān)節(jié) i 的重力和摩擦力不計,假設(shè)機械臂末端位姿力矢,則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成:
(2)
式中
——關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩
——雅可比矩陣
眾所周知,關(guān)節(jié)有會有變形,機械臂末端位姿有如下關(guān)系式:
(3)
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——關(guān)節(jié)的位姿矢量
將(1)式寫成矩陣的形式,結(jié)合(2)、(3)式,經(jīng)簡單的計算,和F之間的關(guān)系如下:
(4)
式中
如果定義
(6)
(6)式是末端位姿的柔性矩陣。然而,在太空工作強度矩陣一致。柔性矩陣C可以用來測量機械臂的靜態(tài)特征。矩陣C也有雅可比函數(shù)功能。因此,它在組合和構(gòu)造要素較大范圍內(nèi)是可改變的,在穩(wěn)定條件下機械臂的可變特征能用于完成一些應(yīng)該的復(fù)雜的操作。如裝配、拋光、維修等等。由(5)、(6)式可知矩陣C是對稱性矩陣。
如果定義
(7)
對矩陣C進行微分,方程式(7)我們又可以得到
(8)
式中,i=1,2,3,···,m應(yīng)用了矩陣C的單一性。因此,是其對稱矩陣,有如下關(guān)系:
(9)
式(9)被描述為橢球體曲線方程,當橢球體的主要曲線與矩陣C的單一值相等時,這橢球體也被認為是一般柔性橢球體GFE。由于直觀原因,圖一中平面2連桿機械臂的的連桿長,GFE如圖(2)和(3)所示。
圖一 平面2R桿機械臂
圖2 平面2R桿全驅(qū)動機械臂的GFE模型
圖3 平面2R桿全驅(qū)動機械臂的GFE模型
這些圖示表明測量是需要依賴組合和機構(gòu)要素。然而全驅(qū)動機械臂并不能改變其機構(gòu)要素。因此,由于不同的構(gòu)件(圖2),而不是結(jié)構(gòu)要素(從圖2改變到圖3),GFE模型是可以改變的。當被動關(guān)節(jié)被引進作為全驅(qū)動機械臂時,為了方便使用,假設(shè)這些被動關(guān)節(jié)具有制動裝置和位置控制,以便被動關(guān)節(jié)能在自由模式和鎖定模式下進行制動。然而在運動學(xué)上,欠驅(qū)動機械臂揭示了一些冗余度連桿問題,并沒有表明在輸入方式下的自運動不如工作狀態(tài)下的自運動。另一方面,被動關(guān)節(jié)的制動模式能使欠驅(qū)動機械臂具有重構(gòu)能力,系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作。
2. 柔性矩陣
假設(shè)在欠驅(qū)動冗余度機械臂中s連桿為被動關(guān)節(jié) ,被動關(guān)節(jié)裝有制動裝置,當被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時,其速度運動方程可以寫成為:
(10)
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——驅(qū)動機械臂的雅可比矩陣
——分別為驅(qū)動和被動機械臂的廣義坐標矢量
當機械臂中被動關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài)時,系統(tǒng)運動方程可變?yōu)?
(11)
式中 ——機械臂末端位姿矢量
——鎖定狀態(tài)下被動關(guān)節(jié)機械臂的雅可比矩陣
——驅(qū)動關(guān)節(jié)的機械臂廣義坐標
很顯然,方程(11)和(3)是同一形式,方程(10)和(11)表明欠驅(qū)動機械臂在運動學(xué)上具有不同的模式。換句話說,在運動學(xué)上系統(tǒng)具有多中模式特征。圖(4)平面3R連桿機械臂就是很好的例子。機械臂的第二關(guān)節(jié)是被動關(guān)節(jié),其他的都是驅(qū)動關(guān)節(jié)。當被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時,被選做為廣義坐標變量。如果被動關(guān)節(jié)處于自鎖狀態(tài),機械臂的維數(shù)將變?yōu)?維,這廣義坐標變量為,顯然由于,但雅可比矩陣有如下關(guān)系:
圖4 平面3R桿機械臂
由于欠驅(qū)動機械臂存在不同的運動模式,一種可以用來優(yōu)化和機械臂的機構(gòu)組合及自重構(gòu)以使用不同的工作。預(yù)測如何完成基于欠驅(qū)動下的全驅(qū)動機械臂操作是不可避免的問題。不象全驅(qū)動冗余度機械臂那樣,欠驅(qū)動冗余度機械臂并不能改善其操作工作,執(zhí)行機械臂任務(wù)類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故。有一條可行的途徑就是在不同的時間分解機構(gòu)的工作。例如,當機械臂工作處于驅(qū)動模式下,機構(gòu)組合能進行機構(gòu)自重構(gòu)。然而當機械臂工作在全驅(qū)動模式下,其功能之一就是能控制機構(gòu)的運動。事實上,處于欠驅(qū)動工作模式下的機械臂能辯別機構(gòu)的運動,如位置控制或間斷點對應(yīng)點運動。但是這并不是此論文所討論的重點。我們應(yīng)關(guān)注的是欠驅(qū)動冗余度機械臂的靜態(tài)特征和機構(gòu)自重構(gòu)控制方法。
欠驅(qū)動機械臂兩中模式的運動方程可以被多種方法描述。但是在復(fù)雜的機械裝置中多連桿機械臂的機構(gòu)要素定義還存在一定的困難。為了解決這些問題,我們將進行分析欠驅(qū)動冗余度機械臂的兩種模式間的關(guān)系。
假定一種特殊的機械臂組合機構(gòu),假設(shè)有,處于裝置的兩種模式下的末端位姿表達式是一致的,可以表示為
(12)
假設(shè) (13)
(13)式表示微運動發(fā)生在關(guān)節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處,根據(jù)(13)式,方程式又可以寫成
(14)
把(14)代入(12)式中,我們可以得到
(15)
(15)式描述欠驅(qū)動機械臂兩種模式下的不同一機構(gòu)。因此,兩種廣義坐標也是相等的。設(shè),又可以得到
(16)
(16)式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關(guān)系。此式能預(yù)測出全驅(qū)動模式的運動。把(16)式代入方程式(5),可以得到全驅(qū)動模式下的欠驅(qū)動矩陣方程
(17)
根據(jù)方程(7),GFE欠驅(qū)動機械臂也能定義,方程(17)表示在機械裝置改裝后的系統(tǒng)靜態(tài)特征。其一,我們以通過3R桿機械臂模擬(圖4)。作為非冗余度機械臂而言,如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點,它不僅與柔性橢球體模型有關(guān)。相反有許多與處于冗余度機械臂工作狀態(tài)下的這一點相關(guān)。假設(shè)3R桿平面機械臂三桿長分別為,機構(gòu)的起始角度為,GFE其他末端位姿起始位置如圖5所示。
顯然,根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況,可知存在許多這樣的關(guān)節(jié)組合。這些機構(gòu)都是與GFE相關(guān)的。但是一欠驅(qū)動冗余度機械臂存在機構(gòu)自重構(gòu)的能力。一般而言,我們期望的GFE在不同的基本組合中有類似的運動。換句話說,橢球體模型類似于一個球。如圖5所示,在3桿中第一桿運動狀態(tài)表現(xiàn)最佳。
3 非線性控制
我們通過分析系統(tǒng)的動態(tài)特性,為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動機械臂運動。欠驅(qū)動機械臂動態(tài)方程可以寫成
(18)
(19)
式中為質(zhì)量慣性矩,為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量。M是驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量。是驅(qū)動關(guān)節(jié)廣義坐標矢量。是被動關(guān)節(jié)廣義坐標矢量。Jain等證實方程(19)是二階非線性約束方程。通過自重構(gòu),在工作狀態(tài)下給定位置,欠驅(qū)動機械臂具有改善裝置運動的能力。由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關(guān)節(jié)的維數(shù),被動關(guān)節(jié)的位置控制只能通過動態(tài)藕合來實現(xiàn)?;贐rockett理論,給定機構(gòu)的系統(tǒng)并不是光滑的,穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律。因此,非線性控制的結(jié)果表明系統(tǒng)是非線性的、隨時間變化的、離散的。非線性控制方法還有一種就是在Ref(17)中所提到的全驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動。這種方法的本質(zhì)就是當驅(qū)動關(guān)節(jié)運動到一個周期時被動關(guān)節(jié)將偏離平衡位置(圖6)。
驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動方程有
(20)
(21)
(22)
式中 A—簡諧振動的振幅
W—簡諧振動的角頻率
如果我們將式中(22)變換一下,代入(19)式得到
(23)
通常,角頻率是一個較大的數(shù),因此,簡諧振動周期T=是一個非常小的數(shù)。被作為一個周期的約束,(23)式有可以寫成
(24)
(24)式表示一個周期后有一點發(fā)生偏離。顯然,構(gòu)成整體的價值在于簡諧振動的振幅和角頻率,者就是簡諧振動中的驅(qū)動關(guān)節(jié)能控制被動關(guān)節(jié)的原因之一。
4 自重構(gòu)控制律
自重構(gòu)需要穩(wěn)定的控制技術(shù)。間諧振動非線性控制方法在第3部分已經(jīng)簡單地介紹了。下面我們將設(shè)計一個新的控制方法來執(zhí)行機構(gòu)的自重構(gòu)運動。這種方法將用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時的廣義柔性橢球體模型。
假設(shè)引用于一個期望的組合,此組合源于一些優(yōu)化方法,是驅(qū)動機械臂的驅(qū)動位置角。
設(shè)
(25)
式中 e——關(guān)節(jié)位置矢量誤差
對方程(24)進行微分有:
(26)
取滑動模態(tài)為 (27)
集中律為 (28)
式中 ,且sgn()作為符號函數(shù),有如下式子:
如果矢量有,可以得到下面式子:
(27)式表示驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動滿足萊布羅定律。假設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入與(20)、(21)有關(guān),當時,又可以得到如下關(guān)系式
將(26)式中2桿的2倍偏離量代入(30)式,可以得到
設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入為
將(32)和(31)式代入(19)式,有如下關(guān)系
振動振幅為
雖被動關(guān)節(jié)并沒有達到期望的位置,驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入控制可用(32)式來描述,另一方面,被動關(guān)節(jié)處于期望的位置,輸入控制方式有以下方程。從(27)式中可知偏離時間為
結(jié)合(28)和(35)式,控制律為
顯然,這種控制方法是非線性的、隨時間變化的、且遵循Brockett理論。有以上關(guān)系重新整理振幅,控制律為
當ep=0時滿足
當ep≠0時滿足
5 仿真研究
在這部分中,選平面3R桿機械臂作為仿真模型,如圖4所示。設(shè)第二桿為機械臂的被動關(guān)節(jié),其他兩桿為驅(qū)動關(guān)節(jié)。如果初始位置為,為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型,更好的位置為,這在第三部分已給出。我們認為后面一種情況是我們期望的結(jié)果。根據(jù)第四部分所提供的控制方法,模擬仿真結(jié)果如圖7所示。
圖7 3R桿欠驅(qū)動機械臂的自重構(gòu)運動
1.連桿1 2.連桿2 3.連桿3
圖7(a)表示隨時間變化的關(guān)節(jié)位置誤差;圖7(b)表示與時間有關(guān)的關(guān)節(jié)運動軌道軌跡;圖7(c)表示在自重構(gòu)控制中機械臂機構(gòu)位置的改變;圖7(d)表示關(guān)節(jié)速度與位置間關(guān)系圖。顯然,機械臂已滿足期望的機構(gòu)完成自重構(gòu)控制。
6 結(jié)束語
欠驅(qū)動技術(shù)是一個非常關(guān)鍵性的問題,它不僅能夠產(chǎn)生空間機器人系統(tǒng)的線性誤差,而且能操控合作機器人和機器裝置。欠驅(qū)動機械臂有實現(xiàn)機械自重構(gòu)的能力。新的關(guān)儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動冗余度制動式機械臂的測量被提出。這測量由于優(yōu)化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。簡諧振動的非線性控制方法能執(zhí)行自重構(gòu)運動。有3連桿欠驅(qū)動機械臂的仿真結(jié)果證明測量和振幅的控制是有效的。
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