2019人教A版數(shù)學(xué)必修一3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》教案精講.doc

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2019人教A版數(shù)學(xué)必修一3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》教案精講 [讀教材填要點(diǎn)] 函數(shù)模型的應(yīng)用 (1)用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題； (2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，其基本過程如圖所示： [小問題大思維] 1．在實際問題中常用的函數(shù)模型如下表所示，你能寫出它們對應(yīng)的解析式嗎？ 提示： 函數(shù)模型 解析式 正比例函數(shù)模型 f(x)＝(k為常數(shù)，k≠0) 一次函數(shù)模型 二次函數(shù)模型 f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1) 對數(shù)函數(shù)模型 冪函數(shù)模型 提示：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)　反比例函數(shù)模型 f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1) 2．在利用上述函數(shù)模型解決問題時，函數(shù)的定義域除了使函數(shù)解析式有意義之外，還需注意什么？ 提示：實際問題有意義．例如：“非負(fù)”，“取整”，“上、下限”等． 已知函數(shù)模型的應(yīng)用題 [例1]　某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線段表示． (1)寫出圖1表示的市場售價與上市時間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)； (2)規(guī)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？ (注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天) [自主解答]　(1)由圖1可得，市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f(t)＝ 由圖2可得，種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為 g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300. (2)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意，得h(t)＝ f(t)－g(t)，即 h(t)＝ 當(dāng)0≤t≤200時，配方整理，得 h(t)＝－(t－50)2＋100， 所以，當(dāng)t＝50時，h(t)取得區(qū)間[0,200]上的最大值100； 當(dāng)20087.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時t＝50, 即從二月一日開始的第50天，上市的西紅柿純收益最大． —————————————————— 求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為： 圖表中的第一步：，這一步應(yīng)從審題開始，通過分析和抽象找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，即建立合理的數(shù)學(xué)模型，因此，這一步稱之為數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化；第二步：，這一步就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決函數(shù)模型所表述的數(shù)學(xué)問題．因此，這一步稱之為數(shù)學(xué)解決；第三步：，這一步就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)論． —————————————————————————————————————— 1．某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下： 高峰時間段用電價格表 高峰月用電量(單位：千瓦時) 高峰電價(單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.568 超過50至200的部分 0.598 超過200的部分 0.668 低谷時間段用電價格表 低谷月用電量(單位：千瓦時) 低谷電價(單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.288 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.388 　 若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元(用數(shù)字作答)． 解析：高峰時間段200千瓦時的用電電費(fèi)為： 500.568＋(200－50)0.598＝118.1(元)； 低谷時間段100千瓦時的用電電費(fèi)為： 500.288＋(100－50)0.318＝30.3(元)． 合計：148.4(元)． 答案：148.4 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)模型 [例2]　某公司擬投資100萬元，有兩種獲利的方式可選擇：一種是年利率10%，按單利計算，5年收回本金和利息；另一種是年利率9%，按復(fù)利計算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？并求比另一種投資5年可多得利息多少元？ [解]　本金100萬元，年利率10%，按單利計算，5年后的本息和是100(1＋10%5)＝150萬元． 本金100萬元，年利率9%，按每年復(fù)利一次計算，5年后的本息和是100(1＋9%)5≈153.86萬元． 由此可見，按年利率9%每年復(fù)利一次計算的要比年利率10%單利計算的更有利，5年后多得利息3.86萬元． —————————————————— 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查.在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式.另外，指數(shù)方程常利用對數(shù)進(jìn)行計算，指數(shù)、對數(shù)在很多問題中可轉(zhuǎn)化應(yīng)用. —————————————————————————————————————— 2．20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為：M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅． (1)假設(shè)在一次地震中，一個距離震中1 000千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002，計算這次地震的震級． (2)5級地震給人的震感已比較明顯，我國發(fā)生在汶川的8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍？ 解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝4. 即這次地震的震級為4級． (2)， lg＝3，＝1 000. 即所求是1 000倍． 擬合函數(shù)模型的建立及應(yīng)用 [例3]　為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x cm與當(dāng)年灌溉面積y hm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如下表所示. 年序 最大積雪深度x/cm 灌溉面積y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描點(diǎn)畫出灌溉面積y hm2隨積雪深度x cm變化的圖象； (2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y＝f(x)，并畫出圖象； (3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？ [自主解答]　(1)描點(diǎn)作圖如圖甲： (2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y＝ax＋b. 取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)(24.0,45.8)， 代入y＝ax＋b，得 用計算器可算得a≈1.8，b≈2.4. 這樣，我們得到一個函數(shù)模型y＝1.8x＋2.4.作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系． (3)由y＝1.825＋2.4，求得y＝47.4，即當(dāng)最大積雪深度為25 cm時，可以灌溉土地47.4 hm2. —————————————————— 對于此類實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟是： (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點(diǎn)圖. (2)通過考察散點(diǎn)圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線. (3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式. (4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測，為決策和管理提供依據(jù). —————————————————————————————————————— 3．某汽車公司曾在xx年初公告：xx年銷量目標(biāo)定為39.3萬輛；且該公司董事長極力表示有信心完成這個銷量目標(biāo)． xx年，某汽車年銷量8萬輛； xx年，某汽車年銷量18萬輛； xx年，某汽車年銷量30萬輛． 如果我們分別將xx,xx,xx,xx年定義為第一，二，三，四年，現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)型f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)型g(x)＝abx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪個模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關(guān)系？ 解：建立年銷量y(萬輛)與第x年的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過點(diǎn)(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)構(gòu)造二次函數(shù)型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得解得 則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計劃誤差為4.7. (2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型g(x)＝abx＋c，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 可得解得 則g(x)＝()x－42， 故g(4)＝()4－42＝44.4，與計劃誤差為5.1. 由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映該公司年銷量y(萬輛)與第x年的關(guān)系. 解題高手 妙解題 同樣的結(jié)果，不一樣的過程，節(jié)省解題時間，也是得分！　 圖(1)是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖(2)是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧Cm是半圓，曲邊形ABCD的周長為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為，設(shè)AB＝2x，BC＝y(tǒng). (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍； (2)求當(dāng)x取何值時，凹槽的強(qiáng)度最大． [巧思]　凹槽的強(qiáng)度最大，即橫截面的面積最大．只要將凹槽橫截面的面積S表示成x的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可解決． [妙解]　(1)易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為πx，∴4＝2x＋2y＋πx，∴y＝. 依題意知：0. ∵＝＝≈10.4. 即x>10.4. 答案：B 3．令有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是(　　) A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 解析：可以先畫出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀地認(rèn)識變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫它．散點(diǎn)圖如圖所示． 由散點(diǎn)圖可知，圖象不是直線，排除選項D；圖象不符合對數(shù)函數(shù)的圖象特征，排除選項A；當(dāng)t＝3時，2t－2＝23－2＝6，排除B，故選C. 答案：C 4．一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么(　　) A．人可在7秒內(nèi)追上汽車 B．人可在10秒內(nèi)追上汽車 C．人追不上汽車，其間距最少為5米 D．人追不上汽車，其間距最少為7米 解析：設(shè)汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米，則s＝t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時，d取得最小值為7. 答案：D 二、填空題 5.對某種產(chǎn)品市場產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年的銷量情況，下列敘述： ①產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原計劃進(jìn)行生產(chǎn)； ②產(chǎn)品出現(xiàn)了供大于求的情況，價格將趨跌； ③產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴(kuò)大銷售量．你認(rèn)為較合理的敘述是________． 解析：由圖可知，對相同的年份，年產(chǎn)量>銷售量，即出現(xiàn)了供大于求的情況，庫存積壓越來越嚴(yán)重，因而②③正確，這種情況下不宜再按原計劃生產(chǎn)，故①不正確． 答案：②③ 6.如圖，開始時桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1＝ae－nt(n為常數(shù)，t為注水時間)，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.如果由桶1向桶2中注水5分鐘時，兩桶中的水相等，那么經(jīng)過________分鐘桶1中的水只有. 解析：由于t＝5時兩桶中的水相等， 所以ae－n5＝a－ae－n5， 所以(e－n)5＝，即e－n＝(). 由條件可得ae－nt＝， 即()＝()3，所以t＝15. 答案：15 7．某地2002年年底人口為500萬，人均住房面積為6平方米，若該地區(qū)的人口年平均增長率為1%，要使xx年年底該地區(qū)人均住房面積至少為7平方米，平均每年新增住房面積至少為________萬平方米(精確到1萬平方米，參考數(shù)據(jù)：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)． 解析：設(shè)平均每年新增住房面積為x萬平方米，則 ≥7，解得x≥82.27≈82. 答案：82 8.2011年1月29日廣州日報：香港出現(xiàn)了第2宗甲型H1N1死亡病例．為了預(yù)防甲型H1N1流感，某學(xué)校教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比．藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝()t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題： (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為________； (2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過________小時后，學(xué)生才能回到教室． 解析：(1)由圖可設(shè)y＝kt(0≤t≤0.1)，把點(diǎn)(0.1,1)分別代入y＝kt和y＝()t－a，得k＝10，a＝0.1. ∴y＝ (2)由()t－0.1<0.25＝()得t>0.6. 答案：(1)y＝ (2)0.6 三、解答題 9．某學(xué)校準(zhǔn)備購買一批電腦，在購買前進(jìn)行的市場調(diào)查顯示：在相同品牌、質(zhì)量與售后服務(wù)的條件下，甲、乙兩公司的報價都是每臺6000元．甲公司的優(yōu)惠條件是購買10臺以上的，從第11臺開始按報價的七折計算，乙公司的優(yōu)惠條件是均按八五折計算． (1)分別寫出在兩公司購買電腦的總費(fèi)用y甲、y乙與購買臺數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)根據(jù)購買的臺數(shù)，你認(rèn)為學(xué)校應(yīng)選擇哪家公司更合算？ 解：(1)y甲＝ y乙＝5 100x(x∈N)， (2)當(dāng)x≤10時，顯然y甲＞y乙； 當(dāng)x＞10時，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000>5 100x， 解得：x＜20. 故當(dāng)購買的臺數(shù)不超過20臺時，應(yīng)選擇乙公司，當(dāng)購買臺數(shù)超過20臺時，應(yīng)選擇甲公司． 10．xx年，某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和S與t之間的關(guān)系)．根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題： (1)由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求截止到第幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元； (3)求第八個月公司所獲利潤是多少萬元？ 解：(1)由二次函數(shù)圖象可知，設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝at2＋bt＋c(a≠0)． 由題意，得或 或 無論哪個均可解得a＝，b＝－2，c＝0； ∴所求函數(shù)關(guān)系式為S＝t2－2t； (2)把S＝30代入，得30＝t2－2t， 解得t1＝10，t2＝－6(舍去)， ∴截止到第10個月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元； (3)把t＝7代入， 得S＝72－27＝＝10.5(萬元)， 把t＝8代入，得S＝82－28＝16(萬元)． 則第八個月獲得的利潤為16－10.5＝5.5(萬元)， ∴第8個月公司所獲利潤為5.5萬元．