高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 3 數(shù)學(xué)歸納法 （2）課件 新人教B版選修2-2.ppt

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2 3數(shù)學(xué)歸納法 2 內(nèi)容 應(yīng)用 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式與不等式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性與幾何問題 數(shù)學(xué)歸納法 重點 用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)問題 難點 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時第二步的放縮 1 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟 2 初步會用 數(shù)學(xué)歸納法 證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題 如恒等式 不等式及整除問題等 3 用數(shù)學(xué)歸納法歸納 猜想 證明 本課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法 以兩個小問題引入新課 對數(shù)學(xué)歸納法的步驟分析準(zhǔn)確 詳細(xì) 精心選擇三道例題 分別是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式與不等式 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性與幾何問題 歸納 猜想 證明在實際問題中的應(yīng)用 題目新穎 難度由淺入深 與數(shù)列 解析幾何 導(dǎo)數(shù) 方程等知識融合交匯 體現(xiàn)證明等式 不等式等高考常考內(nèi)容 計算量不大 答案詳細(xì) 分析準(zhǔn)確 在講述數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用時 采用例題與變式結(jié)合的方法 通過例1和變式1鞏固掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明等式與不等式 通過例2和變式2掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性與幾何問題 通過例3用數(shù)學(xué)歸納法歸納 猜想 證明 采用一講一練針對性講解的方式 重點理解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 問題1 請回顧數(shù)學(xué)歸納法的步驟 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 2 使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的難點在第二個步驟上 這時除了一定要用到歸納假設(shè)外 還要較多的運用不等式證明的方法 對所要證明的不等式加以變形 尋求其與歸納假設(shè)的聯(lián)系是問題的突破口 注意 在用數(shù)學(xué)歸納法證題時注意以下三句話 遞推基礎(chǔ)不可少 歸納假設(shè)要用到 結(jié)論寫明莫忘掉 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式與不等式 典例1 1 已知n為正偶數(shù) 用數(shù)學(xué)歸納法證明時 若已假設(shè)n k k 2 且為偶數(shù) 時命題為真 則還需要用歸納假設(shè)再證n 時等式成立 A k 1B k 2C 2k 2D 2 k 2 2 等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知對任意的n N 點 n Sn 均在函數(shù)y bx r b 0且b 1 b r均為常數(shù) 的圖象上 求r的值 當(dāng)b 2時 記bn 2 log2an 1 n N 證明 對任意的n N 不等式成立 規(guī)范解答 1 選B 因為n k為偶數(shù) 所以下一個與之相鄰的偶數(shù)為n k 2 2 由題意 Sn bn r 當(dāng)n 2時 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2時 an 是以b為公比的等比數(shù)列 又a1 b r a2 b b 1 所以 由 及b 2知an 2n 1 因此bn 2n n N 所證不等式為 當(dāng)n 1時 左式 左式 右式 所以結(jié)論成立 假設(shè)n k k 1 k N 時結(jié)論成立 即則當(dāng)n k 1時 要證當(dāng)n k 1時結(jié)論成立 只需證即證 由基本不等式得成立 故成立 所以 當(dāng)n k 1時 結(jié)論成立 由 可知 n N 時 不等式成立 規(guī)律方法 運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時應(yīng)注意的四個問題 1 由假設(shè)n k成立證n k 1時 要推導(dǎo)詳實 并且一定要運用n k成立的結(jié)論 2 要注意n k到n k 1時增加的項數(shù) 3 n n0時成立 要弄清楚命題的含義 4 對于不等式在證明由n k變化到n k 1時 除了應(yīng)用綜合法外還可用分析法 反證法 求差 求商比較法及放縮法等加以證明 若本例 1 中將n改為正奇數(shù) 若已知n 2k 1 k N 時命題為真 則下一步證明 n 時等式成立 解析 由題意可知n為正奇數(shù) 取n 2k 1的下一個奇數(shù)為n 2k 1 答案 2k 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性與幾何問題 典例2 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明34n 1 52n 1 n N 能被8整除時 當(dāng)n k 1時 對于34 k 1 1 52 k 1 1可變形為 A 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 B 34 34k 1 52 52kC 34k 1 52k 1D 25 34k 1 52k 1 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 凸n邊形的對角線的條數(shù)為f n n n 3 n N n 3 規(guī)范解答 1 選A n k 1時 34 k 1 1 52 k 1 1 25 34k 1 52k 1 56 34k 1 由n k時 能被8整除 即 34k 1 52k 1 能被8整除 而56 34k 1也能被8整除 故n k 1時成立 2 因為三角形沒有對角線 所以n 3時 f 3 0 命題成立 假設(shè)n k k 3 時 命題成立 即f k k k 3 則當(dāng)n k 1時 凸k邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗 1個頂點 對角線條數(shù)增加k 1條 所以f k 1 f k k 1 k k 3 k 1 k 1 k 1 3 所以當(dāng)n k 1時命題成立 由 可知對任何n N且n 3 命題恒成立 易錯警示 關(guān)于幾何問題的變化情況本例 2 中由n k變換到n k 1時 對角線條數(shù)不會求 或根本看不清其變化情況導(dǎo)致錯解 規(guī)律方法 證明整除性與幾何問題的關(guān)鍵 1 證明整除問題的關(guān)鍵 湊項 證明整除問題的關(guān)鍵是 湊項 即采用增項 減項 拆項和因式分解等手段 將n k 1時的式子湊出n k時的情形 從而利用歸納假設(shè)使問題獲證 2 證明幾何問題的關(guān)鍵 找項 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是 找項 即幾何元素從k個變成k 1個時 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析 事實上 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧 典例3 是否存在常數(shù)a b 使得等式 對一切正整數(shù)n都成立 并證明你的結(jié)論 點撥 對這種類型的題目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系數(shù) 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正整數(shù)n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 歸納 猜想 證明 2 假設(shè)當(dāng)n k時結(jié)論正確 即 則當(dāng)n k 1時 故當(dāng)n k 1時 結(jié)論也正確 根據(jù) 1 2 知 對一切正整數(shù)n 結(jié)論正確 1 當(dāng)n 1時 由上面解法知結(jié)論正確 已知函數(shù)f x rx xr 1 r x 0 其中r為有理數(shù) 且0 r 1 求f x 的最小值 試用 的結(jié)果證明如下命題 設(shè)a1 0 a2 0 b1 b2為正有理數(shù) 若b1 b2 1 則 a1b1 a2b2 請將 中的命題推廣到一般形式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題 注 當(dāng) 為正有理數(shù)時 有求導(dǎo)公式 x x 1 解答 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 當(dāng)01時 f x 0 所以f x 在 1 內(nèi)是增函數(shù) 故函數(shù)f x 在x 1處取得最小值f 1 0 由 知 當(dāng)x 0 時 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中至少有一個為0 則 a1b1 a2b2成立 若a1 a2均不為0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是在 i 中令x r b1 可得 b1 1 b1 即 a1b1 a2 1 b1 亦即 a1b1 a2b2 綜上 對a1 0 a2 0 b1 b2為正有理數(shù)且b1 b2 1 總有 a1b1 a2b2 中命題的推廣形式為 設(shè)a1 a2 an為非負(fù)實數(shù) b1 b2 bn為正有理數(shù) 若b1 b2 bn 1 則 a1b1 a2b2 anbn 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下 1 當(dāng)n 1時 b1 1 有a1 a1 成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 且k N 時 成立 即若a1 a2 ak為非負(fù)實數(shù) b1 b2 bk為正有理數(shù) 且b1 b2 bk 1 則 a1b1 a2b2 akbk 當(dāng)n k 1時 已知a1 a2 ak ak 1為非負(fù)實數(shù) b1 b2 bk bk 1為正有理數(shù) 且b1 b2 bk bk 1 1 此時00 于是因由歸納假設(shè)可得 從而又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得從而 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故當(dāng)n k 1時 成立 由 1 2 可知 對一切正整數(shù)n 所推廣的命題成立 正確運用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個步驟 要做到 遞推基礎(chǔ)不可少 歸納假設(shè)要用到 結(jié)論寫明莫忘掉 因此必須注意以下三點 1 驗證是基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法的原理表明 第一個步驟是要找一個數(shù)n0 這個n0就是要證明的命題對象的最小自然數(shù) 這個自然數(shù)并不一定都是 1 因此 找準(zhǔn)起點 奠基要穩(wěn) 是正確運用數(shù)學(xué)歸納法第一個要注意的問題 2 遞推乃關(guān)鍵 數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推 所以從 k 到 k 1 的過程 必須把歸納假設(shè) n k 作為條件來導(dǎo)出 n k 1 時的命題 在推導(dǎo)過程中 要把歸納假設(shè)用上一次或幾次 3 尋找遞推關(guān)系的方法 在第一步驗證時 不妨多計算幾項 并爭取正確寫出來 這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的 探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律 觀察n處在哪個位置 在書寫f k 1 時 一定要把包含f k 的式子寫出來 尤其是f k 中的最后一項 除此之外 多了哪些項 少了哪些項都要分析清楚 提醒 在求由 k 到 k 1 時函數(shù)f x 變化的項時 一般把n k n k 1分別代入 將兩式作差求得