蘇科版八級上《第章軸對稱圖形》單元測試(四)含解析.doc

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《第2章 軸對稱圖形》（江蘇省鹽城市東臺） 　 一、選擇題 1．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 3．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的（　?。? A．三條角平分線的交點 B．三條邊的中線的交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點 5．∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為4，Q是OB上任一點，則（　　） A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜4 6．已知等腰三角形的一個外角等于100，則它的頂角是（　?。? A．80 B．20 C．80或20 D．不能確定 　 二、填空題 7．在上學的路上，小剛從電瓶車的后視鏡里看到一輛汽車，車頂字牌上的字在平面鏡中的像是IXAT，則這輛車車頂字牌上的字實際是　?。? 8．在△ABC中，∠A=80，當∠B=　　時，△ABC是等腰三角形． 9．在Rt△ABC中，斜邊上的中線長為5cm，則斜邊長為　?。? 10．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20，則∠C=　?。? 11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40，該三角形的一個底角是　　． 12．將以長方形紙片如圖折疊，若∠1=140，則∠2=　?。? 　 三、解答題 13．在河岸l的同側有A、B兩村，在河邊修一水泵站P，使所用的水管最短，另修一碼頭Q，使Q與A、B兩村的距離相等，試畫出P、Q所在的位置． 14．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC． （1）求∠ECD的度數(shù)； （2）若CE=5，求BC長． 15．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE． （1）求證：△DEF是等腰三角形； （2）當∠A=40時，求∠DEF的度數(shù)． 16．如圖，在△ABC中，M、N分別是BC與EF的中點，CF⊥AB，BE⊥AC． 求證：MN⊥EF． 17．如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN． （1）求證：AE=BD； （2）判斷△CMN的形狀并說明理由． 18．如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）圖中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由． （2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？ （3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由． 　 《第2章 軸對稱圖形》（江蘇省鹽城市東臺實驗中學教育集團） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項正確； B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 2．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（　?。? A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系． 【專題】分類討論． 【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應分兩種情況進行討論． 【解答】解：當腰是3cm時，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關系定理，因而應舍去． 當?shù)走吺?cm時，另兩邊長是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm． 故選：B． 【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法． 　 3．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 【考點】等腰三角形的判定． 【專題】分類討論． 【分析】根據(jù)題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰． 【解答】解：如上圖：分情況討論． ①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個； ②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個． 故選：C． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．數(shù)形結合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想． 　 4．到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的（　?。? A．三條角平分線的交點 B．三條邊的中線的交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的三條角平分線的交點；到三角形三個頂點的距離都相等的點是三角形的三條邊的垂直平分線的交點．即可求得答案． 【解答】解：到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的三條角平分線的交點． 故選A． 【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關鍵． 　 5．∠AOB的平分線上一點P到OA的距離為4，Q是OB上任一點，則（　?。? A．PQ≥4 B．PQ＞4 C．PQ≤4 D．PQ＜4 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過點P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PE，再根據(jù)垂線段最短解答． 【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB于E， ∵OP是∠AOB的平分線， ∴PD=PE=10， ∵Q是OB上任一點， ∴PQ≥PE， ∴PQ≥4． 故選A． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，作出輔助線更形象直觀． 　 6．已知等腰三角形的一個外角等于100，則它的頂角是（　?。? A．80 B．20 C．80或20 D．不能確定 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】此外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況考慮，再結合三角形的內(nèi)角和為180，可求出頂角的度數(shù)． 【解答】解：①若100是頂角的外角，則頂角=180﹣100=80； ②若100是底角的外角，則底角=180﹣100=80，那么頂角=180﹣280=20． 故選C． 【點評】當外角不確定是底角的外角還是頂角的外角時，需分兩種情況考慮，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180、三角形外角的性質(zhì)求解． 　 二、填空題 7．在上學的路上，小剛從電瓶車的后視鏡里看到一輛汽車，車頂字牌上的字在平面鏡中的像是IXAT，則這輛車車頂字牌上的字實際是　TAXI?。? 【考點】鏡面對稱． 【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱． 【解答】解：IXAT是經(jīng)過鏡子反射后的字母，則這車車頂上字牌上的字實際是TAXI． 故答案為TAXI． 【點評】本題主要考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應認真觀察，注意技巧． 　 8．在△ABC中，∠A=80，當∠B=　80、50、20　時，△ABC是等腰三角形． 【考點】等腰三角形的判定． 【分析】此題要分三種情況進行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角． 【解答】解：∵∠A=80， ∴①當∠B=80時，△ABC是等腰三角形； ②當∠B=（180﹣80）2=50時，△ABC是等腰三角形； ③當∠B=180﹣802=20時，△ABC是等腰三角形； 故答案為：80、50、20． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，關鍵是掌握等角對等邊，注意考慮全面，不要漏解． 　 9．在Rt△ABC中，斜邊上的中線長為5cm，則斜邊長為　10?。? 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【專題】計算題． 【分析】已知CD的長，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得AB的長． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜邊上的中線，如果CD=5cm， ∴AB=10cm． 故答案為：10． 【點評】此題主要考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 10．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20，則∠C=　40?。? 【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理解答即可． 【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20， ∴∠B===80， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80+20=100， ∵AD=DC， ∴∠C===40． 【點評】本題涉及到三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬較簡單題目． 　 11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40，該三角形的一個底角是　25或65　． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】本題已知沒有明確三角形的類型，所以應分這個等腰三角形是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論． 【解答】解：當這個三角形是銳角三角形時：高與另一腰的夾角為40，則頂角是50，因而底角是65； 如圖所示：當這個三角形是鈍角三角形時：∠ABD=50，BD⊥CD， 故∠BAD=50， 所以∠B=∠C=25 因此這個等腰三角形的一個底角的度數(shù)為25或65． 故答案為：25或65． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的高線，可能在三角形的內(nèi)部，邊上、外部幾種不同情況，因而，遇到與等腰三角形的高有關的計算時應分類討論． 　 12．將以長方形紙片如圖折疊，若∠1=140，則∠2=　110?。? 【考點】平行線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3=140，∠4+∠2=180，然后可得∠4的度數(shù)，進而可得答案． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠1=∠3=140，∠4+∠2=180， 根據(jù)折疊可得：∠4=3=70， ∴∠2=180﹣70=110， 故答案為：110． 【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 　 三、解答題 13．在河岸l的同側有A、B兩村，在河邊修一水泵站P，使所用的水管最短，另修一碼頭Q，使Q與A、B兩村的距離相等，試畫出P、Q所在的位置． 【考點】作圖—應用與設計作圖． 【分析】作出A點關于l的對稱點A′，再連接A′B，交l于點P；再做作出線段AB的垂直平分線，垂直平分線與l的交點就是Q點． 【解答】解：如圖所示： ， 點P、Q即為所求． 【點評】此題主要考查了作圖﹣應用與設計作圖，關鍵是掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等． 　 14．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC． （1）求∠ECD的度數(shù)； （2）若CE=5，求BC長． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】計算題；幾何圖形問題． 【分析】（1）ED是AC的垂直平分線，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得； （2）△ABC中，AB=AC，∠A=36，可得∠B=72又∠BEC=∠A+∠ECA=72，所以，得BC=EC=5； 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36； （2）∵AB=AC，∠A=36， ∴∠B=∠ACB=72， ∴∠BEC=∠A+∠ECD=72， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC=5． 答：（1）∠ECD的度數(shù)是36； （2）BC長是5． 【點評】本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，應熟記其性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等． 　 15．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE． （1）求證：△DEF是等腰三角形； （2）當∠A=40時，求∠DEF的度數(shù)． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△CEF，然后即可求證△DEF是等腰三角形． （2）根據(jù)∠A=40可求出∠ABC=∠ACB=70根據(jù)△DBE≌△CEF，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEF的度數(shù)． 【解答】證明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 在△DBE和△CEF中 ， ∴△DBE≌△CEF， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴∠B=（180﹣40）=70 ∴∠1+∠2=110 ∴∠3+∠2=110 ∴∠DEF=70 【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應用了三角形內(nèi)角和定理和平角是180，因此有一定的難度，屬于中檔題． 　 16．如圖，在△ABC中，M、N分別是BC與EF的中點，CF⊥AB，BE⊥AC． 求證：MN⊥EF． 【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】連接ME、MF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MF=ME=BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：如圖，連接MF、ME， ∵MF、ME分別為Rt△FBC是和Rt△EBC斜邊上的中線， ∴MF=ME=BC， 在△MEF中，MF=ME，點N是EF的中點， ∴MN⊥EF． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵． 　 17．如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN． （1）求證：AE=BD； （2）判斷△CMN的形狀并說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)，結合條件可證明△ACE≌△DCB，則可證得AE=BD； （2）利用（1）的結論，結合等邊三角形的性質(zhì)可證明△ACM≌△DCN，可證得MC=NC，則可判定△CMN為等邊三角形． 【解答】（1）證明： ∵△ACD和△BCE是等邊三角形， ∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60，∠ECB=60， ∵∠DCA=∠ECB=60， ∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB， 在△ACE與△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD； （2）解：△CMN為等邊三角形，理由如下： ∵由（1）得，△ACE≌△DCB， ∴∠CAM=∠CDN， ∵∠ACD=∠ECB=60，而A、C、B三點共線， ∴∠DCN=60， 在△ACM與△DCN中， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴MC=NC， ∵∠MCN=60， ∴△MCN為等邊三角形． 【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵． 　 18．如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）圖中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由． （2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？ （3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計算題；綜合題． 【分析】（1）△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF一共5個等腰三角形，同時可證△BEO≌△CFO，可得EF=EO+FO=BE+CF； （2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，所以△BEO為等腰三角形，在△CFO中，同理可證； （3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可證△CFO是等腰三角形， 【解答】解：（1）圖中有5個等腰三角形， EF=BE+CF， ∵△BEO≌△CFO，且這兩個三角形均為等腰三角形， 可得EF=EO+FO=BE+CF； （2）還有兩個等腰三角形，為△BEO、△CFO， 如下圖所示：∵EF∥BC， ∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴△BEO為等腰三角形，在△CFO中，同理可證． ∴EF=BE+CF存在． （3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此時EF=BE﹣CF， ∵如下圖所示：OE∥BC，∴∠5=∠6， 又∠4=∠5，∴∠4=∠6， ∴△BEO是等腰三角形， 在△CFO中，同理可證△CFO是等腰三角形， ∵BE=EO，OF=FC， ∴BE=EF+FO=EF+CF， ∴EF=BE﹣CF 【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較綜合，難度較大，關鍵靈活運用等腰三角形的性質(zhì)．