蘇科版八級(jí)上《第章勾股定理》單元測(cè)試含答案解析.doc

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《第3章 勾股定理》 　 一、選擇題 1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（　?。? A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，17 2．把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（　?。? A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 3．下列說(shuō)法中，不正確的是（　?。? A．三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形 B．三個(gè)角的度數(shù)之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．三邊長(zhǎng)度之比為3：4：5的三角形是直角三角形 D．三邊長(zhǎng)度之比為5：12：13的三角形是直角三角形 4．三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個(gè)三角形是（　　） A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 5．如圖在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ACE的周長(zhǎng)為（　?。? A．16 B．15 C．14 D．13 6．Rt△ABC兩直角邊的長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)為（　?。? A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 　 二、填空題 7．若△ABC的三邊長(zhǎng)滿足a2=b2+c2，則△ABC是　　三角形且∠　　=90． 8．在Rt△ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為6和8，則第三邊長(zhǎng)為　　． 9．已知x、y為正數(shù)，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為　?。? 10．在△ABC中，若三條邊的長(zhǎng)度分別為9，12、15，則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是　　． 11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是　　cm2． 12．如圖，將一根長(zhǎng)12厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為　　厘米． 　 三、解答題 13．某直角三角形的周長(zhǎng)為30，且一條直角邊長(zhǎng)為5，求另一條直角邊的長(zhǎng)． 14．如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)AB=4，寬BC=2，高CG=1． （1）一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn)A沿盒子表面爬到點(diǎn)G，求它所行走的最短路線的長(zhǎng)． （2）這個(gè)長(zhǎng)方體盒子內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒長(zhǎng)度的為多少？ 解：（1）螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)G有三種可能，展開(kāi)成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計(jì)算出AG2的值分別為　　、　　、　　，比較后得AG2最小為　　．即最短路線的長(zhǎng)是　?。? （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 15．一個(gè)三角形三條邊的比為5：12：13，且周長(zhǎng)為60cm，求它的面積． 16．如圖，直線l上有三個(gè)正方形a、b、c，其中a、c的面積分別為5和11．求正方形b的面積． 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=25，點(diǎn)D在BC上，AD=24，BD=7，試問(wèn)AD平分∠BAC嗎？為什么？ 18．某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造，測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m．現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)． 　 《第3章 勾股定理》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（　?。? A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，17 【考點(diǎn)】勾股數(shù)． 【分析】三個(gè)正整數(shù)，其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可． 【解答】解：A、62+122≠132，故錯(cuò)誤； B、32+42≠72，故錯(cuò)誤； C、7.5，8.5不是正整數(shù)，故錯(cuò)誤； D、82+152=172，故正確． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)的概念，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)．驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，從而作出判斷． 　 2．把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（　?。? A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理，可知：把直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的2倍． 【解答】解：設(shè)一直角三角形直角邊為a、b，斜邊為c．則a2+b2=c2； 另一直角三角形直角邊為2a、2b，則根據(jù)勾股定理知斜邊為=2c． 即直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的2倍． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理對(duì)式子進(jìn)行變形． 　 3．下列說(shuō)法中，不正確的是（　?。? A．三個(gè)角的度數(shù)之比為1：3：4的三角形是直角三角形 B．三個(gè)角的度數(shù)之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．三邊長(zhǎng)度之比為3：4：5的三角形是直角三角形 D．三邊長(zhǎng)度之比為5：12：13的三角形是直角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，選擇正確答案． 【解答】解：A、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得，各角分別為22.5，67.5，90，所以是直角三角形； B、根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求得，各角分別為45，60，75，所以不是直角三角形； C、兩邊的平方和等于第三邊的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形； D、兩邊的平方和等于第三邊的平，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理來(lái)判定直角三角形的方法．解題的關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)熟練運(yùn)用． 　 4．三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個(gè)三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】對(duì)等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀． 【解答】解：化簡(jiǎn)（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 　 5．如圖在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ACE的周長(zhǎng)為（　?。? A．16 B．15 C．14 D．13 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】首先連接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，又由DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，繼而可得△ACE的周長(zhǎng)為：BC+AC． 【解答】解：連接AE， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=8，AC=6， ∴BC==10， ∵DE是AB邊的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴△ACE的周長(zhǎng)為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用． 　 6．Rt△ABC兩直角邊的長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)為（　?。? A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 【考點(diǎn)】勾股定理；三角形中位線定理． 【分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答． 【解答】解：∵Rt△ABC兩直角邊的長(zhǎng)分別為6cm和8cm， ∴斜邊==10cm， ∴連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)為10=5cm． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 7．若△ABC的三邊長(zhǎng)滿足a2=b2+c2，則△ABC是　直角　三角形且∠　A　=90． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】直接根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)滿足a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形且∠A=90． 故答案為：直角，A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 8．在Rt△ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為6和8，則第三邊長(zhǎng)為　10或2?。? 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】由于斜邊沒(méi)有明確的規(guī)定，所以要分情況求解． 【解答】解：當(dāng)8是斜邊時(shí)，第三邊是==2； 當(dāng)8是直角邊時(shí)，第三邊是10． 【點(diǎn)評(píng)】此類題一定要注意兩種情況，熟練運(yùn)用勾股定理． 　 9．已知x、y為正數(shù)，且|x2﹣4|+（y2﹣16）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為　2?。? 【考點(diǎn)】勾股定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x2、y2，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：由題意得，x2﹣4=0，y2﹣16=0， 所以，x2=4，y2=16， 由勾股定理得，斜邊的平方=x2+y2=4+16=20， 所以，斜邊==2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 10．在△ABC中，若三條邊的長(zhǎng)度分別為9，12、15，則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是　108?。? 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定給三角形的形狀，求拼成的四邊形的面積就是這樣兩個(gè)三角形的面積和，由此列式解答即可． 【解答】解：∵92+122=225，152=225， ∴92+122=152， 這個(gè)三角形為直角三角形，且9和12是兩條直角邊； ∴拼成的四邊形的面積=9122=108． 故答案為：108． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是　17　cm2． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積． 【解答】解：根據(jù)勾股定理可知， ∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， ∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49． ∴正方形D的面積=49﹣8﹣10﹣14=17（cm2）； 故答案為：17． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的面積． 　 12．如圖，將一根長(zhǎng)12厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為　2　厘米． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長(zhǎng)度，即=10，故筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為多少可求出． 【解答】解：如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形， ∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長(zhǎng)度，即=10cm， ∴筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為12﹣10=2cm， 故答案為2． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 13．某直角三角形的周長(zhǎng)為30，且一條直角邊長(zhǎng)為5，求另一條直角邊的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】設(shè)另一條直角邊的長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義表示出斜邊，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)另一條直角邊的長(zhǎng)為x， 則斜邊為：30﹣5﹣x=25﹣x， 由勾股定理得，x2+52=（25﹣x）2， 解得x=12． 答：另一條直角邊的長(zhǎng)12． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，讀懂題目信息，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 14．如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)AB=4，寬BC=2，高CG=1． （1）一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn)A沿盒子表面爬到點(diǎn)G，求它所行走的最短路線的長(zhǎng)． （2）這個(gè)長(zhǎng)方體盒子內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒長(zhǎng)度的為多少？ 解：（1）螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)G有三種可能，展開(kāi)成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計(jì)算出AG2的值分別為　37　、　25　、　29　，比較后得AG2最小為　25?。醋疃搪肪€的長(zhǎng)是　5?。? （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題． 【分析】（1）螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視，或俯視和側(cè)視）二個(gè)面展平成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后利用勾股定理求其對(duì)角線，比較大小即可求得最短的途徑； （2）根據(jù)勾股定理，知長(zhǎng)方體盒子內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒的平方等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的平方和． 【解答】解：（1）螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)G有三種可能，展開(kāi)成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計(jì)算出AG2的值分別為（4+2）2+12=37、42+（1+2）2=25、22+（4+1）2=29，比較后得AG2最小為25．即最短路線的長(zhǎng)是5． （2）如圖3，AG2=AC2+CG2=AB2+BC2+CG2=42+22+12=21． 故答案為37，25，29，5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題及勾股定理的應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問(wèn)題的關(guān)鍵．注意：長(zhǎng)方體中最長(zhǎng)的對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的平方和． 　 15．（2009秋?福鼎市校級(jí)月考）一個(gè)三角形三條邊的比為5：12：13，且周長(zhǎng)為60cm，求它的面積． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形，再根據(jù)周長(zhǎng)求得直角三角形的兩條直角邊，從而求得其面積． 【解答】解：設(shè)該三角形的三邊是5k，12k，13k． 因?yàn)椋?k）2+（12k）2=（13k）2， 所以根據(jù)勾股定理的逆定理，得該三角形是直角三角形． 根據(jù)題意，得5k+12k+13k=60， 解得k=2， 則5k=10，12k=24， 則該直角三角形的面積是120． 故答案為：120cm2． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，同時(shí)熟悉直角三角形的面積公式． 　 16．如圖，直線l上有三個(gè)正方形a、b、c，其中a、c的面積分別為5和11．求正方形b的面積． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DEB=90，AB=DB，∠ABD=90，求出∠CAB=∠DBE，根據(jù)AAS推出△ACB≌△BED，根據(jù)全等得出AC=BE，DE=BC，根據(jù)勾股定理得出即可． 【解答】解：∵根據(jù)正方形的性質(zhì)得：∠ACB=∠DEB=90，AB=DB，∠ABD=90， ∴∠CAB+∠ABC=90，∠ABC+∠DBE=90， ∴∠CAB=∠DBE， 在△ACB和△BED中 ∴△ACB≌△BED， ∴AC=BE，DE=BC， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=AC2+DE2=5+11=16， 即正方形b的面積是16． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ACB≌△BED，題目比較好． 　 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=25，點(diǎn)D在BC上，AD=24，BD=7，試問(wèn)AD平分∠BAC嗎？為什么？ 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出結(jié)論． 【解答】解：AD平分∠BAC，理由為： ∵在△ABC中，AB=AC=25，AD=24，BD=7， ∴252=242+72， ∴∠ADB=90，即AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC． 【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到AD⊥BC． 　 18．（2011?廣安）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造，測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m．現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB，（1）當(dāng)AB=AD時(shí)，求出CD即可；（2）當(dāng)AB=BD時(shí)，求出CD、AD即可；（3）當(dāng)DA=DB時(shí)，設(shè)AD=x，則CD=x﹣6，求出即可． 【解答】 解：如圖1，在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m， （1）如圖1，當(dāng)AB=AD時(shí)，CD=6m， △ABD的周長(zhǎng)為10m+10m+6m+6m=32m； （2）如圖2，當(dāng)AB=BD時(shí)，CD=4m，AD=4m △ABD的周長(zhǎng)是10m+10m+4m=（20+4）m； （3）如圖3，當(dāng)DA=DB時(shí)，設(shè)AD=x，則CD=x﹣6， 則x2=（x﹣6）2+82， ∴x=， ∴△ABD的周長(zhǎng)是10m+m+m=m， 答：擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)是32m或 20+4m或m． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能通過(guò)分類求出等腰三角形的所有情況是解此題的關(guān)鍵．