蘇科版八級上《第章軸對稱圖形》單元測試(三)含答案解析.doc

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《第2章 軸對稱圖形》 　 一、選擇題 1．下列圖形（含陰影部分）中，屬于軸對稱圖形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時間最接近8：00的是（　?。? A． B． C． D． 3．下列圖形：①等腰三角形；②平行四邊形；③等邊三角形；④等腰梯形；⑤長方形．其中，一定是軸對稱圖形的有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 4．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　?。? A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（　?。? A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 6．在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 7．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70，∠B=40，則AB的長為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 8．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于點(diǎn)O，有如下五個結(jié)論： ①△AOD≌△BOC；②∠DAC=∠DCA；③梯形ABCD是軸對稱圖形；④∠DAB+∠DCB=180；⑤AC=BD． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 9．如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA=PB，下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（　?。? A．P是∠A與∠B兩角平分線的交點(diǎn) B．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn) C．P為AC、AB兩邊上的高的交點(diǎn) D．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) 10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列五個結(jié)論：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD與△ACD的面積相等．其中，正確的個數(shù)是（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 　 二、填空題 11．請同學(xué)們寫出兩個具有軸對稱性的漢字　?。? 12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是三角形的角平分線，交AC于點(diǎn)D，AD=2.2cm，AC=3.7cm，則點(diǎn)D到AB邊的距離是　　cm． （2）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50，則∠B的度數(shù)為　　． 13．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F． （1）若△AEF的周長為10cm，則BC的長為　　cm． （2）若∠EAF=100，則∠BAC　?。? 14．如圖①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40，則∠EDC=　　． （2）如圖②，∠ACB=90，E、F為AB上的點(diǎn)，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=　?。? 15．若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10cm、12cm，則它的面積為　　cm2． （2）已知等腰三角形的一個外角為100，則這個等腰三角形的頂角為　　． 16．如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60，AD=4，BC=7，則梯形ABCD的周長是　　． （2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E，M為BE的中點(diǎn)，連接DM．在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形共有　　個． 17．在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=3，M為邊長BC上的點(diǎn)，連接AM，如圖，如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是　　． 18．如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10，為了使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管　　根． 　 三、解答題 19．利用網(wǎng)格作圖， （1）請你在圖①中畫出線段AB關(guān)于線段CD所在直線成軸對稱的圖形； （2）請你在圖②中添加一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形．請畫出所有情形； （3）請你先在圖③的BC上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，再在射線AP上找一點(diǎn)Q，使QB=QC． 20．如圖，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，連接GF，試判斷GF與DE有何特殊的位置關(guān)系？請說明理由． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度數(shù)． 22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BC=AC，求該梯形各內(nèi)角的度數(shù)． 23．如圖，在等腰△ABC中，頂角的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，作△ABC的高AE交CB的延長線于點(diǎn)E，且AE與BC的長是方程組的解．已知S△ABC=m（m≠0），求△ABC的周長． 　 《第2章 軸對稱圖形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列圖形（含陰影部分）中，屬于軸對稱圖形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解． 【解答】解：第一個圖形不是軸對稱圖形， 第二個圖形不是軸對稱圖形， 第三個圖形是軸對稱圖形， 第四個圖形是軸對稱圖形， 綜上所述，屬于軸對稱圖形的有2個． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時間最接近8：00的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】鏡面對稱． 【分析】此題考查鏡面對稱，根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱． 【解答】解：根據(jù)平面鏡成像原理可知，鏡中的像與原圖象之間實(shí)際上只是進(jìn)行了左右對換，由軸對稱知識可知，只要將其進(jìn)行左可翻折，即可得到原圖象，實(shí)際時間為8點(diǎn)的時針關(guān)于過12時、6時的直線的對稱點(diǎn)是4點(diǎn)，那么8點(diǎn)的時鐘在鏡子中看來應(yīng)該是4點(diǎn)的樣子，則應(yīng)該在C和D選項(xiàng)中選擇，D更接近8點(diǎn)． 故選D． 【點(diǎn)評】考查了鏡面對稱，這是一道開放性試題，解決此類題注意技巧；注意鏡面反射的原理與性質(zhì)． 　 3．下列圖形：①等腰三角形；②平行四邊形；③等邊三角形；④等腰梯形；⑤長方形．其中，一定是軸對稱圖形的有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各小題分析判斷即可得解． 【解答】解：①等腰三角形一定是軸對稱圖形； ②平行四邊形不一定是軸對稱圖形； ③等邊三角形一定是軸對稱圖形； ④等腰梯形一定是軸對稱圖形； ⑤長方形一定是軸對稱圖形； 綜上所述，一定是軸對稱圖形的有①③④⑤共4個． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 4．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　?。? A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由已知條件AC=AD，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆用可得點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，同理，點(diǎn)B也在CD的垂直平分線上，于是A是符合題意的，是正確的，答案可得． 【解答】解：∵AC=AD，BC=BD， ∴點(diǎn)A，B在線段CD的垂直平分線上． ∴AB垂直平分CD． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)為：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線．分別應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（　　） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】本題要從已知條件OP平分∠AOB入手，利用角平分線的性質(zhì)，對各選項(xiàng)逐個驗(yàn)證，選項(xiàng)D是錯誤的，雖然垂直，但不一定平分OP． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB ∴PA=PB ∴△OPA≌△OPB ∴∠APO=∠BPO，OA=OB ∴A、B、C項(xiàng)正確 設(shè)PO與AB相交于E ∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE ∴△AOE≌△BOE ∴∠AEO=∠BEO=90 ∴OP垂直AB 而不能得到AB平分OP 故D不成立 故選D． 【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到△OPA≌△OPB，進(jìn)而求得△AOE≌△BOE是解決的關(guān)鍵． 　 6．在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（　?。? A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【專題】分類討論． 【分析】題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案． 【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意， 得①或② 解方程組①得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形； 解方程組②得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時能組成三角形， 即等腰三角形的底邊長是11或7； 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計算．學(xué)生在解決本題時，有的同學(xué)會審題錯誤，以為15，12中包含著中線BD的長，從而無法解決問題，有的同學(xué)會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況；注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理．故解決本題最好先畫出圖形再作答． 　 7．梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70，∠B=40，則AB的長為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考點(diǎn)】梯形． 【專題】壓軸題． 【分析】作DE∥AB交BC于E．則四邊形ABED是平行四邊形，從而得到BE=AD=1，從而可推出∠CDE=∠C=70，則DE=CE=AB． 【解答】解：作DE∥AB交BC于E，則四邊形ABED是平行四邊形．∴BE=AD=1，∠CED=∠B=40 ∴∠CDE=70 ∴AB=DE=CE=4﹣1=3 故選B． 【點(diǎn)評】此題主要是通過平移一腰，利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算． 　 8．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于點(diǎn)O，有如下五個結(jié)論： ①△AOD≌△BOC；②∠DAC=∠DCA；③梯形ABCD是軸對稱圖形；④∠DAB+∠DCB=180；⑤AC=BD． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定；軸對稱圖形． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】采用排除法，以各個結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證從而得出正確的結(jié)論． 【解答】解：①不正確，可以根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例從而得到兩三角形相似． ②不正確，應(yīng)該為∠DBA=∠DCA． ③正確，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)． ④正確，∠DAB+∠DCB=180． ⑤正確，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)． 所以正確的結(jié)論有③④⑤． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及軸對稱的知識，有一定難度，注意分別對各項(xiàng)進(jìn)行判斷． 　 9．如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA=PB，下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（　　） A．P是∠A與∠B兩角平分線的交點(diǎn) B．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn) C．P為AC、AB兩邊上的高的交點(diǎn) D．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的判定定理作答． 【解答】解：∵點(diǎn)P到∠A的兩邊的距離相等， ∴點(diǎn)P在∠A的角平分線上； 又∵PA=PB， ∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上． 即P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了角平分線及線段垂直平分線的判定定理． 到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上；到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上． 　 10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列五個結(jié)論：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD與△ACD的面積相等．其中，正確的個數(shù)是（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，然后證明△ADE與△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，再根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上可以證明AD垂直平分EF，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得△ABD與△ACD的面積相等不正確． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足， ∴DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE，故①正確； 在△ADE與△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（HL）， ∴AE=AF，故②正確； ∵AE=AF，DE=DF， ∴AD垂直平分EF，故③正確； AE與DE，AF與DF不一定相等， ∴EF不一定垂直平分AD，故④錯誤， 根據(jù)圖形，AB≠AC， ∴AD平分∠BAC時，BD≠CD， ∴△ABD與△ACD等高不等底，面積不相等，故⑤錯誤． 綜上所述，①②③共3個正確． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的面積，是小綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．請同學(xué)們寫出兩個具有軸對稱性的漢字　甲、由、中、田、日等?。? 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【專題】壓軸題；開放型． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，即可寫出：甲，日，田等字． 【解答】解：具有軸對稱性的漢字：甲，日等字． 【點(diǎn)評】此題為開放性試題，能夠根據(jù)軸對稱圖形的概念，寫出左右對稱或上下對稱的漢字均可． 　 12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BD是三角形的角平分線，交AC于點(diǎn)D，AD=2.2cm，AC=3.7cm，則點(diǎn)D到AB邊的距離是　1.5　cm． （2）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50，則∠B的度數(shù)為　70或20　． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）先根據(jù)AD=2.2cm，AC=3.7cm求出CD的長，再由角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （2）此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答． 【解答】解：（1）∵AD=2.2cm，AC=3.7cm， ∴CD=3.7﹣2.2=1.5（cm）． ∵∠C=90， ∴點(diǎn)D到AB邊的距離=CD=1.5（cm）． 故答案為：1.5； （2）如圖1，當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時， ∵∠AMD=90， ∴∠A=90﹣50=40， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C==70； 如圖2，當(dāng)AB的中垂線MN與CA的延長線相交時， ∴∠DAB=90﹣50=40， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=∠DAB=20． 故答案為：70或20． 【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F． （1）若△AEF的周長為10cm，則BC的長為　10　cm． （2）若∠EAF=100，則∠BAC　1400?。? 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及△AEF的周長即可得出BC的長， （2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AEF+∠AFE=80；根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，以及外角的性質(zhì)即可得出∠BAC的度數(shù)． 【解答】解：（1）∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線， ∴AE=BE，AF=CF， ∵△AEF的周長為10cm， ∴AC=10cm； （2）∵∠EAF=100， ∴∠AEF+∠AFE=80， ∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線， ∴EA=EB，F(xiàn)A=FC， ∴∠AEF=2∠EAB，∠AFE=2∠CAF， ∴∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC=100+∠EAB+∠CAF=100+（∠AEF+∠AFE）=140． 故答案為：10，140． 【點(diǎn)評】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等，以及外角的性質(zhì)，難度適中． 　 14．如圖①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40，則∠EDC=　20　． （2）如圖②，∠ACB=90，E、F為AB上的點(diǎn)，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=　45?。? 【考點(diǎn)】等腰直角三角形． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADC，求出∠DAC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠ADE即可； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，從而利用∠EFC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB=+﹣90=45求解． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C=45， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=45+40=85， ∵∠DAE=∠BAC﹣∠BAD， ∴∠DAE=90﹣40=50， ∵AD=AE， ∴∠ADE==65， ∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=85﹣65=20． 故答案為：20； （2）∵AE=AC，BC=BF， ∴∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=， ∵∠ACB=90， ∴∠A+∠B=90， ∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB =+﹣90 =﹣90 =135﹣90 =45． 故答案為：45． 【點(diǎn)評】題主要考查學(xué)生運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，是一道很好的題目，關(guān)鍵是進(jìn)行推理和總結(jié)規(guī)律． 　 15．若直角三角形斜邊上的高和中線分別為10cm、12cm，則它的面積為　120　cm2． （2）已知等腰三角形的一個外角為100，則這個等腰三角形的頂角為　80或20?。? 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解； （2）求出與外角相鄰的內(nèi)角是80，再分80角是頂角和底角兩種情況討論求解． 【解答】解：（1）∵直角三角形斜邊上的中線為12cm， ∴斜邊=22=24cm， ∴它的面積=2410=120cm2； （2）∵等腰三角形的一個外角為100， ∴與這個外角相鄰的內(nèi)角是180﹣100=80， 若80角是頂角，則頂角為80， 若80角是底角，則頂角為180﹣802=20， 所以，這個等腰三角形的頂角為80或20． 故答案為：（1）120；（2）80或20． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論． 　 16．如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60，AD=4，BC=7，則梯形ABCD的周長是　17?。? （2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E，M為BE的中點(diǎn)，連接DM．在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形共有　3　個． 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】（1）過點(diǎn)A作BC的垂線AE，從而可求得BE的長，根據(jù)三角函數(shù)可求得AB的長，從而就可求得梯形的周長了； （2）由已知條件，得到角相等，根據(jù)等角對等邊，找出題中兩條邊相等的三角形，利用題中的已知條件證明即可． 【解答】解：（1）過點(diǎn)A作BC的垂線AE， 則BE=（BC﹣AD）=， 在直角三角形△ABE中，cosB==， 因而AB=3，則梯形ABCD的周長是4+7+3+3=17． （2）等腰三角形有△MBD、△MDE、△EAD共3個． 依據(jù)：MD是直角△BED斜邊上的中線，則BM=ME=DM，因而△BMD和△MDE是等腰三角形； ∵DE∥AC， ∴∠EDA=∠CAD， 又∵∠CAD=∠EAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴△AED是等腰三角形． 故答案為：17，3． 【點(diǎn)評】此題考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中常見的輔助線的作法、等腰三角形的性質(zhì)及判定定理、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，把梯形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題． 　 17．在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=3，M為邊長BC上的點(diǎn)，連接AM，如圖，如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是　2?。? 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【專題】計算題． 【分析】如圖，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=AB=3，∠BAM=∠CAM，則AC=2AD=6，根據(jù)角平分線定理得ME=MF，然后利用面積法得到MF?AB+ME?AC=AB?AC，即3ME+6ME=36，解得ME=2． 【解答】解：如圖，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)， ∵△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)D處， ∴AD=AB=3，∠BAM=∠CAM=45， ∴AC=2AD=6，ME=MF， ∵S△ABM+S△AMC=S△ABC， ∴MF?AB+ME?AC=AB?AC， ∴3ME+6ME=36， ∴ME=2， 即點(diǎn)M到AC的距離是2． 故答案為2． 【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 18．如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10，為了使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管　8　根． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】應(yīng)用題；壓軸題． 【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解． 【解答】解：∵添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB=10， ∴∠GEF=∠FGE=20，…從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形， 即第一個等腰三角形的底角是10，第二個是20，第三個是30，四個是40，五個是50，六個是60，七個是70，八個是80，九個是90就不存在了．所以一共有8個． 故答案為：8． 【點(diǎn)評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是180度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 19．利用網(wǎng)格作圖， （1）請你在圖①中畫出線段AB關(guān)于線段CD所在直線成軸對稱的圖形； （2）請你在圖②中添加一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形．請畫出所有情形； （3）請你先在圖③的BC上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，再在射線AP上找一點(diǎn)Q，使QB=QC． 【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計圖案；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）做BO⊥CD于點(diǎn)O，并延長到B′，使B′O=BO，連接AB即可； （2）軸對稱圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合； （3）先作出∠A的平分線AP，再作線段BC的垂直平分線DE，與AP相交于點(diǎn)Q，連接BQ，CQ，則QB=QC． 【解答】解：（1）、（2）如圖所示： ； （3）如圖所示： 【點(diǎn)評】本題考查的是利用軸對稱設(shè)計圖案，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，連接GF，試判斷GF與DE有何特殊的位置關(guān)系？請說明理由． 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】連接EG、FG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=EG=BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的證明即可． 【解答】證明：GF⊥DE．理由如下： 如圖，連接EG、DG， ∵BD、CE分別是△ABC的AC、BC邊上的高，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)， ∴DG=EG=BC， ∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)， ∴GF⊥DE． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度數(shù)． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠C與∠A之間的關(guān)系，從而再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可． 【解答】解：∵AE=ED， ∴∠ADE=∠A， ∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A， ∵BD=ED， ∴∠ABD=∠DEB=2∠A， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=3∠A， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=3∠A， ∵∠ABC+∠C+∠A=180， ∴7∠A=180， ∴∠A=． 【點(diǎn)評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 　 22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BC=AC，求該梯形各內(nèi)角的度數(shù)． 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)判斷出梯形ABCD是等腰梯形，進(jìn)而判斷出△ABC、△ADC是等腰三角形，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠ABC的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)得出∠DAB的度數(shù)即可． 【解答】解：∵AB=DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC=∠BCD，∠DAC=∠ACB ∵AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠CAB=∠B ∵DC=AD， ∴△ADC是等腰三角形， ∴∠DAC=∠ACD=∠BCD， ∴∠CAB=∠B=∠BCD， ∵∠ABC+∠CAB+∠ACB=180，即2∠ABC+∠ABC=180， ∴∠ABC=∠BCD=72， ∴∠DAB=∠ADC=180﹣72=108． 【點(diǎn)評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，解答此類題目時往往用到三角形的內(nèi)角和是180這一隱藏條件． 　 23．如圖，在等腰△ABC中，頂角的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，作△ABC的高AE交CB的延長線于點(diǎn)E，且AE與BC的長是方程組的解．已知S△ABC=m（m≠0），求△ABC的周長． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；解二元一次方程組． 【分析】先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AC=2AD=6，再解方程組，求得，那么S△ABC=BC?AE=（m﹣）?m，而S△ABC=m，得出方程（m﹣）?m=m，由m≠0，得出m=5，然后分BC=m﹣=或BC=m=5，兩種情況進(jìn)行討論即可． 【解答】解：∵在等腰△ABC中，頂角的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3， ∴AC=2AD=6． 解方程組得． ∵S△ABC=BC?AE=（m﹣）?m， ∴（m﹣）?m=m， ∵m≠0， ∴m=5， 如果BC=m﹣=， ∵，，6能夠組成三角形， ∴△ABC的周長=++6=； 如果BC=m=5， ∵5，5，6能夠組成三角形， ∴△ABC的周長=5+5+6=16． 故△ABC的周長為或16． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的解法，三角形的面積，正確求出m的值進(jìn)而分類討論是解題的關(guān)鍵．