概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案.docx

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30 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題1.1 1．用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω與隨機(jī)事件A： （1）拋一顆骰子，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)． A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”． （2）對(duì)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，一旦擊中便停止射擊，觀察射擊的次數(shù)． A表示“射擊不超過3次”． （3）把單位長度的一根細(xì)棒折成三段，觀察各段的長度．A表示“三段細(xì)棒能構(gòu)成一個(gè)三角形”． 2．把表示成n個(gè)兩兩互不相容事件的和． 3． 在某班學(xué)生中任選一個(gè)同學(xué)，以A表示選到的是男同學(xué)，B表示選到的人不喜歡唱歌，C表示選到的人是運(yùn)動(dòng)員． （1）表述ABC及ABC； （2）什么條件下成立ABC=A； （3）何時(shí)成立C?B； （4）何時(shí)同時(shí)成立A=B與A=C． 4．設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件，用A,B,C的運(yùn)算及關(guān)系表示下列各事件： （1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生； （2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生； （3）A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生； （4）A,B,C都發(fā)生； （5）A,B,C都不發(fā)生； （6）A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生； （7）A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生； （8）A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生． 習(xí)題1.2 1．某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A,B,C．已知城市居民訂購A的占45%，訂購B的占35%，訂購C的占30%，同時(shí)訂購A與B的占10%，同時(shí)訂購A與C的占8%，同時(shí)訂購B與C的占5%，同時(shí)訂購A,B,C的占3%，求下列事件的概率： （1）只訂購A； （2）只訂購A與B； （3）只訂購一種報(bào)紙； （4）正好訂購兩種報(bào)紙； （5）至少訂購一種報(bào)紙； （6）不訂購任何報(bào)紙； （7）至多訂一種報(bào)紙． 2．設(shè)在統(tǒng)計(jì)課考試中，學(xué)生A不及格的概率是0.5，學(xué)生B不及格的概率是0.2，兩人同時(shí)不及格的概率是0.1，求： （1）兩人中至少有一人不及格的概率； （2）兩人都及格的概率； （3）兩人中只有一個(gè)人不及格的概率． 3．設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，PA=0.7,PA-B=0.3，求PAB ． 4．設(shè)PA=PB=0.5，證明：PAB=PA B． 5．設(shè)A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，證明：PA∪BA∪BA∪BA∪B=0． 6．證明：在兩個(gè)事件A,B中，只有一件發(fā)生的概率為PA+PB-2PAB． 7．人體血型的一個(gè)簡化模型包括4種血型和2種抗體：A、B、AB與O型，抗A與抗B．抗體根據(jù)血型與人的血液以不同的形式發(fā)生作用，抗A只與A、AB型血發(fā)生作用，不與B、O型血作用，抗B只與B、AB型血發(fā)生作用，不與A、O型血作用．假設(shè)一個(gè)人的血型是O型血的概率為0.5，是A型血的概率為0.34，是B型血的概率為0.12．求： （1）抗A、抗B分別與任意一人的血型發(fā)生作用的概率； （2）一個(gè)人的血型與兩種抗體都發(fā)生作用的概率． 習(xí)題1.3 1．4張卡片上分別寫有字母d,g,o,o，把它們隨機(jī)地排列，求恰好組成“good”的概率． 2．在1500個(gè)產(chǎn)品中，有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，從中任取200個(gè)，求：（1）恰有90個(gè)次品的概率；（2）至少有2個(gè)次品的概率． 3．一個(gè)口袋里裝有10只球，分別編有號(hào)碼1,2, ,10，隨機(jī)地從這個(gè)口袋里取3只球，求：（1）最小號(hào)碼是5的概率；（2）最大號(hào)碼是5的概率． 4．某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶．在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人便隨意將這些油漆發(fā)給顧客．問一個(gè)訂貨為4桶白漆，3桶黑漆，2桶紅漆的顧客，能按所定顏色得到訂貨的概率是多少？ 5．進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn)：先拋一枚均勻的硬幣，然后拋一個(gè)均勻的骰子． （1）描述該試驗(yàn)的樣本空間； （2）硬幣是正面且骰子點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率是多少？ 6．假設(shè)2個(gè)叫Davis的男孩，3個(gè)叫Jones的男孩，4個(gè)叫Smith的男孩隨意地坐在一排9座的座位上．那么叫Davis的男孩剛好坐在前兩個(gè)座位上，叫Jones的男孩坐在挨著的3個(gè)座位上，叫Smith的男孩坐在最后4個(gè)座位上的概率是多少？ 7．某碼頭只能容納一只船．現(xiàn)知某日將獨(dú)立地來兩只船，且在24小時(shí)內(nèi)各時(shí)刻來到的可能性相等．若它們需要?？康臅r(shí)間分別為3小時(shí)和4小時(shí)，那么有一只船需要等待進(jìn)入碼頭的概率是多少？ 8．設(shè)在長度為T的時(shí)間段內(nèi)，有長短不等的兩個(gè)信號(hào)隨機(jī)地進(jìn)入了同一接收機(jī)，長信號(hào)持續(xù)的時(shí)間為t1(t1?T)，短信號(hào)持續(xù)的時(shí)間為t2(t2?T)．求兩個(gè)信號(hào)互不干擾的概率． 9．把長為l的線段任意折成3段，求它們能構(gòu)成三角形的概率． 習(xí)題1.4 1．已知PA=0.8, PB=0.7, PAB=0.8，求PA B. 2．已知PA=0.3,PB=0.4,PAB=0.5，求PB(A∪B)． 3．據(jù)以往資料，某一3口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P{孩子得病}＝0.6，P{母親得病│孩子得病}＝0.5，P{父親得病│母親及孩子得病}＝0.4．求母親及孩子得病但父親未得病的概率． 4．若M件產(chǎn)品中有m件廢品，今在其中任取兩件． （1）已知取出的兩件中至少有一件是廢品，求另一件也是廢品的概率； （2）已知兩件中至少有一件不是廢品，求另一件是廢品的概率； （3）求取出的兩件中至少有一件是廢品的概率． 5．為防止意外事故，礦井內(nèi)同時(shí)安裝了兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)A與B．每個(gè)系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，有效率A為0.92，B為0.93．在A失靈條件下B的有效率為0.85．求： （1）發(fā)生事故時(shí)，這兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率； （2）在B失靈條件下，A有效的概率． 6．一顧客每次購買牙膏都選擇品牌A或B．假定初次購買后，以后每次購買時(shí)他仍選擇上一次品牌的概率為13．設(shè)該顧客第一次購買時(shí)選擇A或B的概率相等，求他第一次和第二次都購買A牌牙膏而第三次和第四次都購買B牌牙膏的概率． 7．假定一個(gè)箱子里共裝有一個(gè)藍(lán)色卡片和四個(gè)分別標(biāo)記為A, B, C, D的紅色卡片．設(shè)從箱子中一次隨機(jī)地取出兩個(gè)卡片． （1）若已知卡片A被取出，求取出的兩個(gè)卡片都是紅色的概率； （2）若已知至少取出一個(gè)紅色卡片，求兩個(gè)卡片都是紅色的概率． 8．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)．求他撥號(hào)不超過三次就接通所要撥打的電話的概率．若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？ 習(xí)題1.5 1．已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡化的檢查方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98，而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05，求以簡化法檢查為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率． 2．炮戰(zhàn)中，在距目標(biāo)250米、200米、150米處發(fā)射的概率分別為0.1、0.7、0.2，命中目標(biāo)的概率分別為0.05、0.1、0.2．現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀，求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250米處發(fā)射的概率． 3．已知男性有5%是色盲患者，女性有0.25%是色盲患者．今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人為男性的概率是多少？ 4．某種產(chǎn)品50件為一批，每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1,2,3,4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02．今從某批產(chǎn)品中隨機(jī)地取出了10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中的次品不超過2件的概率． 5．將兩條信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01．信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1．若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息也是A的概率是多少？ 6．一盒中裝有15個(gè)球，其中9個(gè)是新球．第一次比賽時(shí)從中任取3個(gè)使用，但賽后都放回盒中，第二次比賽再從盒中任取3個(gè)， （1）求第二次取出的都是新球的概率； （2）已知第二次取出的球都是新球，求第一次恰好取出2個(gè)新球的概率． 7．有兩箱同種類的零件．第一箱裝50只，其中10只是一等品；第二箱裝30只，其中18只是一等品．今從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中不放回地抽取零件兩次，每次任取一只．求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率． 習(xí)題1.6 1．設(shè)PA1=PA2=PA3=13, A1,A2,A3相互獨(dú)立，求： （1）A1,A2,A3至少發(fā)生一個(gè)的概率； （2）A1,A2,A3恰好發(fā)生一個(gè)的概率； （3）A1,A2,A3最多發(fā)生一個(gè)的概率. 2．一旦危險(xiǎn)情況C發(fā)生，報(bào)警電路會(huì)閉合發(fā)出警報(bào)．借助兩個(gè)或更多開關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路可以增強(qiáng)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)在有兩個(gè)開關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路，每個(gè)開關(guān)具有0.96的可靠性，問這個(gè)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性是多少？如果要求報(bào)警系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999，則至少需要多少只開關(guān)并聯(lián)？假設(shè)各開關(guān)的閉合與否是相互獨(dú)立的． 3．求下圖所示的兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性．假設(shè)元件i的可靠性為 pi，各元件正常工作與否相互獨(dú)立． 　　　 　　3題圖(a) 　　　　　　 3題圖(b) 4．根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物資損壞的情況共有三種：損壞2% （記為A1），損壞10%（記為A2），損壞90%（記為A3），且PA1=0.8,PA2=0.15,PA3=0.05．現(xiàn)在從已被運(yùn)輸?shù)奈镔Y中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B）．求PA1B, PA2B,PA3B．（這里假設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率．） 5．將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它字母的概率都是1-α/2．今將字母串AAAA, BBBB, CCCC之一輸入信道，輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為p1 ,p2 ,p3p1 +p2 +p3=1．若已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸各個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的．） 6． 設(shè)在第一臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0.7，在第二臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0.8；第一臺(tái)車床制造了2個(gè)零件，第二臺(tái)車床制造了3個(gè)零件．求這5個(gè)零件均為一級(jí)品的概率． 7．設(shè)實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生甲類細(xì)菌和乙類細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的．若某次產(chǎn)生了2n個(gè)細(xì)菌，求： （1）至少有一個(gè)是甲類細(xì)菌的概率； （2）甲、乙兩類細(xì)菌各占一半的概率． 8．設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.001，射擊5000次，求至少擊中兩彈的概率． 9．某人向一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次擊中目標(biāo)的概率均為p(00，每個(gè)卵變?yōu)槌上x的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌上x是相互獨(dú)立的， （1）求每蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲的概率； （2）若某蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲，求它產(chǎn)了n個(gè)卵的概率． 習(xí)題2.1 1. 舉出幾個(gè)你所熟悉的能用隨機(jī)變量來描述的社會(huì)或生活現(xiàn)象. 習(xí)題2.2 1. 問c取何值才能使下列數(shù)列 （1） fk=cN, k=1,2,…,N； （2） fk=c?λkk!, k=1,2,…λ>0為常數(shù) 成為分布律. 2. 已知隨機(jī)變量X取四個(gè)值-1,0,1,2，相應(yīng)概率分別為12c,34c,58c,716c，試確定常數(shù)c，并計(jì)算PX<1X≠0. 3. 一批產(chǎn)品分一、二、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品是二級(jí)品的一半. 從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量，試用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，并寫出其分布律. 4. 某運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.4，寫出他一次投籃命中數(shù)X的分布律. 5. 上拋兩枚硬幣，寫出正面朝上的個(gè)數(shù)Y的分布律. 6. 一批花生種子的發(fā)芽率為0.9，如果每穴播種3粒，求發(fā)芽數(shù)X的分布律. 7. 設(shè)隨機(jī)變量X~B(6,p)，已知PX=1=PX=5，求PX=2的值. 8. 已知事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于三次時(shí)，指示燈將發(fā)出信號(hào).若按以下兩種方式進(jìn)行試驗(yàn)，分別求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率. （1）進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)； （2）進(jìn)行7次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn). 9. 某實(shí)驗(yàn)室有自動(dòng)控制的儀器10只，相互獨(dú)立地運(yùn)行，發(fā)生故障的概率都是0.03. 在一般情況下，一臺(tái)儀器的故障需要一個(gè)技師處理，問配備多少技師可以保證在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)處理的概率小于0.05. 10. 從五批零件中各抽取一個(gè)零件組裝一種產(chǎn)品，每批抽出非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率均為1/6．如果5個(gè)零件中有超過3件的非優(yōu)質(zhì)品就制不成產(chǎn)品，求制不成產(chǎn)品的概率. 11. 某救援站在長度為t的時(shí)間（單位：h）內(nèi)收到救援信號(hào)的次數(shù)X服從Pt2分布且與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，試求某天下午救援站在1點(diǎn)至6點(diǎn)間至少收到一次救援信號(hào)的概率. 12. 若X~P(λ)且PX=2=PX=3，求PX=5. 13. 設(shè)步槍射擊飛機(jī)的命中率為0.001，今射擊6000次，試按泊松分布近似計(jì)算步槍至少擊中飛機(jī)兩彈的概率，并求最可能擊中數(shù). 14. 有大量汽車通過一個(gè)繁忙的汽車站，經(jīng)統(tǒng)計(jì)每輛汽車在一天某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001.若在某天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率（利用泊松定理近似計(jì)算）是多少？ 15. 在有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取3件，寫出取出的次品數(shù)X的分布律. 16. 在一副撲克牌中（按54張計(jì)）隨機(jī)地抽出5張，求抽出黑桃張數(shù)的概率分布. 17. 一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從中任取20件，現(xiàn)已初步查出2件次品，求20件中次品數(shù)不少于3的概率. 18. 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p，且生產(chǎn)過程中一旦出現(xiàn)廢品即刻重新進(jìn)行調(diào)整.求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律. 19. 某射手有5發(fā)子彈，每射一發(fā)子彈的命中率都是0.7，如果命中目標(biāo)便停止射擊，不中目標(biāo)就一直射擊到子彈用完為止，試求所用子彈數(shù)X的分布律. 20. 從有10件正品、3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取，設(shè)每次抽取時(shí)，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等. 在下列三種情形下，分別寫出直到取得正品為止所需抽取次數(shù)X的分布律. （1）每次取出的產(chǎn)品不再放回； （2）每次取出的產(chǎn)品立即放回； （3）每次取出一件產(chǎn)品后隨即放回一件正品. 習(xí)題2.3 1. 已知隨機(jī)變量X~fx=cx2, 02. 5. 設(shè)隨機(jī)變量X~U-1,1，事件A=04. 7. 假定打一次電話所用時(shí)間(以分計(jì))服從λ=0.1的指數(shù)分布，試求在排隊(duì)打電話的人中，后一個(gè)人等待前一個(gè)人的時(shí)間超過10分鐘的概率和在10分鐘到20分鐘之內(nèi)的概率. 8. 設(shè)隨機(jī)變量X~N-2,9，寫出X的密度函數(shù). 9. 設(shè)隨機(jī)變量X~fx=ce-x2+x，求常數(shù)c. 10. 設(shè)隨機(jī)變量X~N-1,16，求PX<2.44, PX>-1.48,PX<-2.8, P|X|<4及P|X-1|>1. 11. 設(shè)隨機(jī)變量X~Nμ,σ2，方程y2+4y+X=0無實(shí)根的概率為0.5，求μ. 12. 設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,σ2)，且P2P{Y-μ2<1}，則正確的是[ ]. (A) σ1<σ2； (B) σ1>σ2； (C) μ1<μ2； (D) μ1>μ2. 15. 某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長度(cm)服從參數(shù)為μ=10.05,σ=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品，求一只螺栓為不合格品的概率. 16. 設(shè)隨機(jī)變量X~N(160,σ2)，若P1200,bf2x, x≤0 (a>0,b>0) 為密度函數(shù)，則a ,b應(yīng)該滿足什么條件？ 習(xí)題2.4 1. 寫出分布函數(shù)的定義式以及離散與連續(xù)兩種類型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算公式. 2. 寫出習(xí)題2.2第3題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù). 3. 寫出習(xí)題2.2第15題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù). 4. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)fx=2x, 00,0, x≤0. (1)求常數(shù)A,B；(2)求 P-20,0, x≤0. 求Y=X2的密度函數(shù). 5.（1）設(shè)X~fx，求Y=X3的密度函數(shù)； （2）設(shè)X~Eλ，求Y=X3的密度函數(shù)； （3）設(shè)X~E1，求Y=eX的概率密度. 6. 設(shè)X~U0, 1，求： （1）Y=3X+1的密度函數(shù)； （2）Y＝-2lnX的密度函數(shù)； （3）Y＝eX的密度函數(shù). 7. 設(shè)X~N0, 1，求： （1）Y＝eX的密度函數(shù)； （2）Y＝X2的密度函數(shù)； （3）Y＝X的密度函數(shù). 8. 設(shè)隨機(jī)變量X~fx=x, -10,0, X=0,-1, & X<0. 試求隨機(jī)變量Y的分布律. 11*. 假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑(單位:mm)服從正態(tài)分布N11,1，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品．銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損．已知銷售利潤Y(單位：元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系： Y=-1, X<10,20, 10≤X≤12,-5, & X>12. 求Y的分布律. 章末習(xí)題2 1. 下面給出的數(shù)列哪些是隨機(jī)變量的分布律？說明理由. (1)Pi=i15,i=0,1,2,3,4,5； (2) Pi=(5-i2)6,i=0,1,2,3； (3)Pi=14,i=2,3,4,5； (4) Pi=i+125,i=1,2,3,4,5. 2. 試確定常數(shù)c，使PX=i=C2i(i=0,1,2,3,4)為分布律，并求：PX≤2;P0.5x和PX-a≤x. 5. 火炮向某目標(biāo)獨(dú)立射擊，每發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率為0.6，且只要命中一發(fā)目標(biāo)就被摧毀.今發(fā)射4發(fā)，求摧毀目標(biāo)的概率.若使目標(biāo)被摧毀的概率達(dá)到0.999以上，則至少要發(fā)射多少發(fā)炮彈？ 6. 已知隨機(jī)變量 X的概率密度fx=2x, 0 p2； (C) p1< p2 ； (D) p1≠ p2. 15. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的α∈(0,1) 數(shù)uα滿足PX>uα=α.若PX2. (1)求常數(shù)A,B,C；(2)求P{X>12}；(3)X是連續(xù)型隨機(jī)變量嗎？如果是，則求X的密度函數(shù). 19. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 fx=13, x∈0,1,29, x∈3,6,0, 其它. 若k使得PX≥k=23，求k的取值范圍. 20. 已知隨機(jī)變量X的分布律為 X -2 0 1 1.5 3 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 求X+2、-X+1與 X2的分布律. 21. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y=1-e-2X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布. 22. 設(shè)隨機(jī)變量X~fx=2π1+x2, x>0,0, x≤0. 求Y=lnX的密度函數(shù). 23. 隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 fXx=12, -1-1. Y=-1, 若U≤1,1, 若U>1. 求X和Y的聯(lián)合概率分布. 8. 設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且PA=14,PBA=13,PAB=12，令 X=1, A發(fā)生, 0, A不發(fā)生. Y=1, B發(fā)生, 0, B不發(fā)生. 求隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布. 9. 已知隨機(jī)變量X1,X2的概率分布為 X1~-101141214 , X2~ 011212 ， 且PX1X2=0=1，求X1和X2的聯(lián)合概率分布. 10. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X,Y的分布律為 Y X -2 -1 0 1 2 1 2 3 0.02 0.10 0.05 0.08 0.01 0.00 0.03 0.11 0.15 0.20 0.08 0.00 0.06 0.04 0.07 求：（1）邊緣分布律；（2）在X=1條件下Y的條件分布律和在Y=0條件下X的條件分布律；（3）PX>Y,PX+Y=0. 11. 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p=0.6的0-1分布，且在X=0、X=1條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律為 YX=0 1 2 3 與 YX=1 1 2 3 P 14 12 14 P 12 16 13 求X,Y的分布律. 習(xí)題3.3 1. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y的密度函數(shù)為 fx,y=ax2y, x20.5,PY>0.5. 2. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=bx, 0≤x≤y≤1,0, 其它. 求：(1)常數(shù)b；(2) PX+Y≤1. 3. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y~ fx,y=ce-x, 00,0, x+y≤0 不是分布函數(shù). 習(xí)題3.5 1. 對(duì)習(xí)題3.2的第1、4題，判斷隨機(jī)變量X,Y是否相互獨(dú)立. 2. 對(duì)習(xí)題3.3的第3、7題，判斷隨機(jī)變量X,Y是否相互獨(dú)立. 3. 隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立， X,Y的分布律為 X -1 0 1 和 Y -2 2 P 1 3 13 13 P 1 2 12 寫出X,Y的分布律，并求PX+Y=1和PXY=0. 4. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立且有相同的分布， X的分布律為 X 1 2 P 2 3 1 3 記U=maxX,Y,V=minX,Y，求(U,V)的分布律. 5. 下表列出了隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，如果X與Y相互獨(dú)立，試在表中的空白處填上其余數(shù)值. Y X y1 y2 y3 PX x1 18 x2 18 PY 16 1 6．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且有相同的分布：PX=-1=PY=-1= 12,PX=1=PY=1= 12，則下列選項(xiàng)正確的是[ ]. （A）PX=Y= 12；（B）PX=Y=1；（C）PX+Y=0= 14；（D）PXY=1= 14. 7. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 且事件X=0與X+Y=1相互獨(dú)立，求常數(shù)a,b. 8. 已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度 fx,y=4xy, 0≤x≤1,0≤y≤1,0, 其它. 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，計(jì)算事件00,y>0,0, 其它. 求X,Y的分布函數(shù)F(x,y)，計(jì)算事件X>5、Y>10的概率. 10. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y≤1. 11. 在區(qū)間0,1中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于0.5的概率. 12. 設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，X~U0,0.2,Y~E(5)． （1）寫出X,Y的密度函數(shù)；（2）求 PY0,y>0,0, 其它. 求Z=X+Y2的概率密度函數(shù). 7. 若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且均服從N0,1，證明Z=X2+Y2的概率密度函數(shù)為 fZz=12e-z2, z>0,0, z≤0. 8. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且有相同的分布函數(shù)F(x)，則Z=maxX,Y?的分布函數(shù)為[ ]. (A) F2x； (B)Fx?Fy； (C) 1-1-Fx2； (D) 1-Fx?1-Fy. 9. 某電子元件的壽命X(單位：小時(shí))服從參數(shù)為0.0015的指數(shù)分布，現(xiàn)有6個(gè)元件在獨(dú)立地工作，求6個(gè)元件工作時(shí)間均在800小時(shí)以上的概率和不超過3000小時(shí)的概率. 10*. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X的分布律為PX=i=1/3i=-1,0,1，Y的概率密度函數(shù)為fYy=1, 0≤y<10, 其它 ，記Z=X+Y，（1）求Z的概率分布；（2）求PZ≤12X=0. 章末習(xí)題3 1. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y在區(qū)域D=x,y|x2+y2≤1且y≥0內(nèi)服從均勻分布，在三次重復(fù)獨(dú)立觀察中事件X≥Y出現(xiàn)的次數(shù)為Z，試求PZ=2. 2. 袋中裝有1個(gè)紅球、4個(gè)白球，任意取出2個(gè)球，若以X表示其中的紅球數(shù)，以Y表示其中的白球數(shù)，試求隨機(jī)變量X,Y的分布律和分布函數(shù). 3. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y 0 1 2 -1 1 225 a 125 b 325 225 且PY=1X=0=35，求常數(shù)a,b的值. 4. 已知隨機(jī)變量Xi~-1 0 1 14 12 14 (i=1,2)，且PX1X2=0=1，則PX1=X2等于[ ]. (A) 0； (B)1/4； (C) 1/2； (D) 1. 5. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y的分布律為 X,Y 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 P 1 6 19 118 13 a b 若X,Y相互獨(dú)立，試求常數(shù)a, b的值. 6. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，它們的分布律分別為 X -2 -1 0 0.5 和 Y -0.5 1 3 P 14 13 112 13 P 12 14 14 求X,Y的分布律及PX+Y=1和PX+Y≠0. 7. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X,Y的分布律為 Y X 1 2 3 4 -1 0 1 0.20 0.03 0.21 0.10 0 0.08 0.11 0.09 0.07 0.11 0 0 求：（1）邊緣分布律；（2）在X=-1和在Y=2條件下的條件分布律；（3）PX≠Y,PX≤0. 8. 設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且PX≥0,Y≥0=3/7,PX≥0=PY≥0=4/7，求PmaxX,Y≥0. 9. 一個(gè)商店每周四進(jìn)貨，以備星期五、六、日銷售. 根據(jù)多周統(tǒng)計(jì)，這三天的銷售件數(shù)X1,X2,X3彼此獨(dú)立，且有如下的分布律 X1 10 11 12 X2 13 14 15 X3 17 18 19 P 0.2 0.7 0.1 P 0.3 0.6 0.1 P 0.1 0.8 0.1 問三天的銷售總量這個(gè)隨機(jī)變量可以取那些值？進(jìn)貨45件不夠賣的概率有多大？進(jìn)貨40件夠賣的概率又是多少？ 10. 設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y在區(qū)域G=x,yx2≤y≤x上服從均勻分布，試求X,Y的概率密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù). 11. 已知隨機(jī)變量X,Y的密度函數(shù)fx,y=1πe-12x2+2xy+5y2, -∞0,y>0,0, 其它. 若X,Y相互獨(dú)立，求聯(lián)合分布函數(shù)Fx,y. 15. 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立， X1~Bn1,p, X2~Bn2,p，證明：X1+X2~Bn1+n2,p. 16. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均勻分布，求：（1）X,Y的分布函數(shù)；（2）隨機(jī)變量U=|X-Y|的密度函數(shù). 17. 兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開動(dòng)，試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T的概率密度f(t). 18. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，試求Z=X2+Y2的密度函數(shù). 19. 一電路裝有三個(gè)同種電氣元件，工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間均服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布. 當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作. 試求電路正常工作時(shí)間T的概率分布. 20. 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且皆服從參數(shù)分別為λ1,λ2,…,λn的指數(shù)分布，試求Y=minX1,X2,…,Xn?概率分布. 21. 有四個(gè)獨(dú)立工作的元件Rij(i.j=1,2)，它們的壽命(單位：小時(shí))均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.若R11與R12串聯(lián)為子系統(tǒng)R1，R21與R22串聯(lián)為子系統(tǒng)R2，子系統(tǒng)R1與R2并聯(lián)為系統(tǒng)R，R的壽命為Z，試求Z的壽命分布. 22. 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,X5相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(12,5)，求. 習(xí)題4.1 1．（1）在下面的句子中隨機(jī)地取一單詞，以X表示取到的單詞中的字母個(gè)數(shù)，寫出X的分布律，并求EX． （2）在下面句子的30個(gè)字母中隨機(jī)地取一字母，以Y表示取到的字母所在單詞中的字母數(shù)，寫出Y的分布律，并求EY． “THE GIRL PUT ON HER BEAU