2019-2020年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)必修16.4《反三角函數(shù)》教案3篇.doc

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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)必修16.4《反三角函數(shù)》教案3篇 反三角函數(shù) 教學(xué)要求 理解反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念。能畫出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的圖象 教學(xué)重點(diǎn) 反三角函數(shù)的概念 教學(xué)難點(diǎn) 反三角函數(shù)概念的建立 教學(xué)過(guò)程 反正弦函數(shù) 一、 復(fù)舊引新 復(fù)習(xí)反函數(shù)存在的條件，然后根據(jù)正弦函數(shù)圖象引導(dǎo)學(xué)生討論：內(nèi)的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是否單值？（2）區(qū)間上的反對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 二、 講授新課 函數(shù)上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作寫： 定義域： 注： （1） arcsinx是一個(gè)完整的記號(hào) （2）中自變量滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義 （3）arcsinx表示一個(gè)角， 由定義得 如果則有 sin（arcsinx）=x 三、 強(qiáng)化公式 例1 求下列各反三角函數(shù)的值 （2）arcsin（－1） （4） 一般地，如果則有 arcsin（－x）=－arcsinx 例2 求下列各式的值 練習(xí) 第XX頁(yè)第XX題 例3 求下列各式的值 注：arcsin（sin）不一定等于 由互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系，可得反正弦函數(shù)的圖象 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù) 練習(xí) 第XX頁(yè)第XX題 小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象 作業(yè) 反余弦函數(shù) 一、 復(fù)舊引新 y=cosx在上有反函數(shù) 二、 講授新課 函數(shù)y=cosx在上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，定義域是 當(dāng)則有cos（arccosx）=x 三、 強(qiáng)化公式 例4求下列各式的值 一般地，當(dāng)則有 例5求下列各式的值 （2）練習(xí) 第XX頁(yè)第XX題 例6 求下列函數(shù)的定義域和值域 反余弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象 作業(yè) XX 反正切和反余切函數(shù) 一、 復(fù)舊引新 y=tanx在上存在反函數(shù) y=cotx在上存在反函數(shù) 二、 講授新課 y=tanx在上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記作y=arctanx，定義域：，值域：；y=cotx在上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx，定義域：，值域： 一般地，tan（arctanx）=x cot（arccotx）=x arctan（－x）=－arctanx arccot（－x）= 三、 強(qiáng)化公式 例7求下列各式的值 例8 求下列各式的值 學(xué)生畫出反正弦、反余弦函數(shù)的圖象 練習(xí) 第XX頁(yè) 小結(jié) 定義、有關(guān)公式、圖象 作業(yè) 6.4反三角函數(shù)（1）——反正弦函數(shù) 上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華 一、教學(xué)內(nèi)容分析 根據(jù)反函數(shù)的概念，正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）沒(méi)有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集[-，]，那么函數(shù)y=sinx， x∈[-，]就存在反函數(shù)，為什么要選取[-，]，教師要作必要性說(shuō)明.我們把函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x∈[-1，1]，學(xué)生對(duì)符號(hào)的arcsinx的理解比較困難，前面符號(hào)中的x必須滿足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一個(gè)角的弧度數(shù)，這個(gè)角的正弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]的圖像和函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這樣容易作出反正弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反正弦函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．理解函數(shù)y=sinx（x∈R）沒(méi)有反函數(shù)；理解函數(shù)y=sinx， x∈[-，]有反函數(shù)；理解反正弦函數(shù)y=arcsinx的概念，掌握反正弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，值域是[-，]. 2．知道反正弦函數(shù)y=arcsinx ，x∈[-1，1]的圖像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能夠熟練計(jì)算特殊值的反正弦函數(shù)值，并能用反正弦函數(shù)值表示角. 5．會(huì)用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問(wèn)題. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號(hào)的本質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：反正弦函數(shù)的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)的反函數(shù)問(wèn)題. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺、多媒體設(shè)備 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 反正弦函數(shù)的定義 （ 師生討論、探究、提煉概念） 反正弦函數(shù)的 圖象與性質(zhì) 互為反函數(shù) 的兩個(gè)函數(shù) 的圖象與性 質(zhì)的關(guān)系 正弦函數(shù) 的圖象 與性質(zhì) 應(yīng)用舉例(求特殊值的反正弦函數(shù)值、用反正弦函數(shù)值表示角、運(yùn)用反正弦恒等式化簡(jiǎn)或求值) 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1．復(fù)習(xí) 我們學(xué)習(xí)過(guò)反函數(shù)，知道，對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對(duì)它的值域中的任意一個(gè)值y，在定義域D中都有唯一確定的值x與它對(duì)應(yīng)，使y=f（x），這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做y=f（x）的反函數(shù).我們也明確不是任何一個(gè)函數(shù)都存在反函數(shù).函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對(duì)應(yīng)的. 2．思考 那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？ [說(shuō)明] 因?yàn)閷?duì)于任一正弦值都有無(wú)數(shù)個(gè)角值與之對(duì)應(yīng).正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對(duì)一的.故而不存在反函數(shù). 3．討論 正弦函數(shù)不存在反函數(shù).但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù).因變量可以確定自變量，正弦值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得存在反函數(shù)呢？ 這個(gè)區(qū)間的選擇依據(jù)兩個(gè)原則： （1）在所取區(qū)間上存在反函數(shù) （2）能取到的一切函數(shù)值. 可以選取閉區(qū)間，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個(gè)反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù). 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 （1）反正弦函數(shù)的定義： 函數(shù)y=sinx， x∈[-，]的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，x∈[-1，1]. （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： ①圖像 ②定義域[-1，1] ③值域[-，] ④奇偶性：奇函數(shù)，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤單調(diào)性：增函數(shù) [說(shuō)明]互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)y=sinx，x∈[-，]與函數(shù)y=arcsinx，x∈[-1，1]的圖像關(guān)于直線對(duì)稱. 2．例題分析 例1．求下列反正弦函數(shù)的值： （1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-） 解：（1）因?yàn)閟in=，且∈[-，]，所以arcsin=. （2）因?yàn)閟in0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0. （3）因?yàn)閟in（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-. 例2．用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式的x： （1）sinx=，x∈[-，]； （2）sinx=-，x∈[-，]； （3）sinx=- ，x∈[-π，0]. 解：（1）因?yàn)閤∈[-，]，由定義，可知x=arcsin； （2）因?yàn)閤∈[-，]，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； （3）在區(qū)間[-，0] 上，由定義，可知x=arcsin（-）=- arcsin； 在區(qū)間[-π，-]上，由誘導(dǎo)公式，可知x=-π+arcsin，滿足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-π+arcsin. 例3．化簡(jiǎn)下列各式： （1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sinxx0） 解：（1）因?yàn)椤蔥-，]，設(shè)sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=. （2）因?yàn)閇-，]，而∈[-，]，且sin=sin，設(shè)sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）= arcsinα=. （3）因?yàn)閟inxx0=sin（53600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270 所以arcsin（sinxx0）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270. 例4．求函數(shù)f（x）=2arcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. 解：設(shè)y=2arcsin2x，則= arcsin2x， 因?yàn)?x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根據(jù)反正弦函數(shù)的定義，得2x=sin，x= sin，將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）= sin，定義域是[-л，л]，值域是[-，] 3．問(wèn)題拓展 例1．證明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] 證明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1] ∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x 又因?yàn)閍rcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函數(shù)在[-，]上單調(diào)遞增，所以arcsin（-x）=-arcsinx， x∈[-1，1]. [說(shuō)明]這是證明角相等的問(wèn)題，兩個(gè)角僅有同名三角比相等，不能證明這兩個(gè)角相等，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生知道這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，并舉例說(shuō)明. 例2．設(shè)x∈[，]，sinx=，用反正弦函數(shù)值表示x. 解：因?yàn)閤∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π- arcsin. [說(shuō)明] 對(duì)于用反正弦函數(shù)值表示區(qū)間[-，]外的角，教材不作要求，但考慮到在解實(shí)際問(wèn)題中常要表示鈍角，因此可補(bǔ)充用反正弦函數(shù)值表示鈍角的練習(xí). 以上兩例教師應(yīng)根據(jù)各自學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行教學(xué). 三、鞏固練習(xí) 判斷下列各式是否成立?簡(jiǎn)述理由. （1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]；（3）式僅當(dāng)k=0時(shí)成立，k取其他整數(shù)時(shí)，不成立，理由是反正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-，]；（6）式不成立，因?yàn)榕c反正弦函數(shù)的定義不符. 四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： （1）反正弦函數(shù)的定義； （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì). 五、作業(yè)布置 （1）書上練習(xí)6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考題：求函數(shù)f（x）=2π-arcsin2x的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1．關(guān)于教學(xué)內(nèi)容 反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用，特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用.而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過(guò)對(duì)這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對(duì)反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用. 2．關(guān)于教學(xué)方法 為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí)，我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過(guò)程中，始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括，使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)備：已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù)，自主探究反正弦函數(shù)及其性質(zhì). 6.4反三角函數(shù)（2）——反余弦函數(shù)、反正切函數(shù) 上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華 一、教學(xué)內(nèi)容分析 根據(jù)反函數(shù)的概念，余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）沒(méi)有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集[0，π]，那么函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]就存在反函數(shù)，為什么要選取[0，π]，教師要引導(dǎo)學(xué)生作必要的討論和說(shuō)明.類比反正弦函數(shù)的定義，我們把函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，x∈[-1，1]，學(xué)生對(duì)符號(hào)的arccosx的理解比較困難，前面符號(hào)中的x必須滿足|x|≤1，arccosx是[0，π]上的一個(gè)角的弧度數(shù)，這個(gè)角的余弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]的圖像和函數(shù)y =cosx，x∈[0，π]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這樣容易作出反余弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反余弦函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是單調(diào)遞減.類似地，把正切函數(shù)y=tanx，x∈（-，）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arctanx，x∈（-∞，∞）的圖像和函數(shù)y = tanx，x∈（-，）的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這樣容易作出反正切函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反正切函數(shù)y= arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．理解函數(shù)y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）沒(méi)有反函數(shù)；理解函數(shù)y=cosx， x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函數(shù)；理解反余弦函數(shù)y=arccosx，反正切函數(shù)y=arctanx的概念，掌握反余弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函數(shù)的定義域是（-∞，∞），值域是（-，）. 2．知道反余弦函數(shù)y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函數(shù)y= arctanx，x∈（-∞，∞）的圖像. 3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）. 4．能夠熟練計(jì)算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值，并能用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角. 5．會(huì)用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問(wèn)題. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：理解反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念以及他們的符號(hào)的本質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的證明及其使用. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺、多媒體設(shè)備 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的定義 （ 師生討論、探究、提煉概念） 反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的 圖象與性質(zhì) 互為反函數(shù) 的兩個(gè)函數(shù) 的圖象與性 質(zhì)的關(guān)系 余弦函數(shù)、正切函數(shù) 的圖象 與性質(zhì) 應(yīng)用舉例(求特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值、用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角、運(yùn)用反余弦和反正切恒等式化簡(jiǎn)或求值) 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1．復(fù)習(xí) 我們學(xué)習(xí)過(guò)反正弦函數(shù)，知道，對(duì)于函數(shù)y=sinx，x∈R，不存在反函數(shù)；但在[]存在反函數(shù) 2．思考 那么余弦函數(shù)和正切函數(shù)是否存在反函數(shù)呢 [說(shuō)明] 因?yàn)閷?duì)于任一余弦值和正切值都有無(wú)數(shù)個(gè)角值與之對(duì)應(yīng).余弦函數(shù)和正切函數(shù)的自變量與因變量是多對(duì)一的.故而不存在反函數(shù). 3．討論 余弦函數(shù)和正切函數(shù)不存在反函數(shù).但選取怎樣的區(qū)間使得或y=tanx在對(duì)應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)呢.因變量可以確定自變量，余弦值或正切值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的余弦值或正切值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得或y=tanx存在反函數(shù)呢？ 這個(gè)區(qū)間的選擇依據(jù)兩個(gè)原則 （1）和y=tanx在所取對(duì)應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)； （2）能取到的一切函數(shù)值，y=tanx一切函數(shù)值R. 可以選取閉區(qū)間[0，π]，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)；可以選取閉區(qū)間（-，），使得y=tanx在該區(qū)間上存在反函數(shù)，這個(gè)反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反余弦函數(shù)和反正切函數(shù). 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 （1）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義： 余弦函數(shù)y=cosx， x∈[0，π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，x∈[-1，1]； 正切函數(shù)y=tanx， x∈（-，）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx，x∈（-∞，∞）； （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： ①圖像 y=arccosx y= arctanx ②定義域：函數(shù)y=arccosx的定義域是[-1，1]；函數(shù)y= arctanx的定義域是R. ③值域：函數(shù)y=arccosx的值域是[0，π]；函數(shù)y= arctanx的值域是（-，）. ④奇偶性：函數(shù)y=arccosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函數(shù)y= arctanx是奇函數(shù)，即arctan（-x）=-arctanx. ⑤單調(diào)性：函數(shù)y=arccosx是減函數(shù)；函數(shù)y= arctanx是增函數(shù). [說(shuō)明]互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]與函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；函數(shù)y=tanx，x∈（-，）與函數(shù)y=arctanx，x∈R的圖像關(guān)于直線對(duì)稱. 2．例題分析 例1．求下列反三角函數(shù)的值： （1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0； （4）arctan1；（5）arctan（-） 解：（1）因?yàn)閏os=，且∈[0，π]，所以arccos=. （2）因?yàn)閏os=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=. （3）因?yàn)閏os=0，且∈[0，π]，所以arccos0=. （4）因?yàn)閠an=1，且∈（-，），所以arctan1=. （5）因?yàn)閠an（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-. 例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分別用反正弦函數(shù)值、反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示∠A、∠B、∠C. 解：因?yàn)锳C2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有 ∠A= arcsin= arccos=arctan； ∠B== arcsin1= arccos0； ∠C= arcsin= arccos=arctan. 例3．化簡(jiǎn)下列各式： （1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）] 解：（1）因?yàn)椤蔥0，π]，設(shè)cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=. （2）因?yàn)閍rccos=，所以sin[arccos]=sin=. （3）因?yàn)閍rctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]= cos(-)=. 例4．求下列函數(shù)的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. (1) f（x）=+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1） 解：（1）設(shè)y=+arccos，則arccos= y-，因?yàn)椤蔥-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=2cos（x-），定義域是[，]，值域是[-2，2]. （2）設(shè)y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因?yàn)椋?x-1）∈R ，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根據(jù)反正切函數(shù)的定義，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=（1-tanx），定義域是（，），值域是R. 3．問(wèn)題拓展 例1．證明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1] 證明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1] ∴cos[arccos（-x）]= -x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x 又因?yàn)閍rccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]. 例2．證明等式：arctan（-x）=-arctanx，xR. 證明：因?yàn)閠an arctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tan arctanx， 又由arctanx（-，），得-arctanx（-，），再有arctan（-x）（-，），且正切函數(shù)在（-，）上單調(diào)遞增，所以arctan（-x）=-arctanx，xR. [說(shuō)明]可以通過(guò)以上恒等式的證明形成學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，但教師應(yīng)根據(jù)學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行選擇. 三、鞏固練習(xí) 判斷下列各式是否成立?簡(jiǎn)述理由. （1）cos（arccos）=；（2）arctan=；（3）arcsin（-）= arcos(-)；（4）arccos+ arccos(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0. 解：（1）式不成立，因?yàn)閇-1，1]，故arccos無(wú)意義；（2）式不成立，因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)關(guān)系搞錯(cuò)了；（3）式不成立，理由是把反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的值域搞錯(cuò)了，事實(shí)上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，兩者不等；（4）式不成立，因?yàn)榘训仁絘rccos（-x）=π-arccosx錯(cuò)記成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因?yàn)榈仁絘rctan（-x）=-arctanx. 四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： （1）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義； （2）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的性質(zhì). 五、作業(yè)布置 書上練習(xí)6.4(2)中的1、2、3、4 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1．關(guān)于教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課是基于學(xué)習(xí)了反正弦函數(shù)之后，類比反正弦函數(shù)的概念，學(xué)生掌握反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念相對(duì)比較容易，所以這節(jié)課的主要力量要花在反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的應(yīng)用上，特別要注意反正弦函數(shù)值和反余弦函數(shù)值所表示的角的范圍的區(qū)別以及反正弦和反余弦恒等式的區(qū)別. 2．關(guān)于教學(xué)方法 為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí)，我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過(guò)程中，始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括，使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)備：已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù)，自主探究反余弦函數(shù)及其反正切函數(shù)的性質(zhì).